有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验-优题课

有一张明星演唱会的门票，小明和小亮都想获得这张门票，亲自体验明星演唱会的热烈气氛，小红为他们出了一个主意，方法就是：从印有1、2、3、4、5、4、6、7的8张扑克牌中任取一张，抽到比4大的牌，小明去；否则，小亮去．
求小明抽到4的概率
你认为这种方法对小明和小亮公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改游戏规则，使游戏对双方都公平．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：利用频率估计概率

某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．

（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．

某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动，为了解职工的捐书量，采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本，对他们的捐书量进行统计，统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类，分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 表示，根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数；

（3）估计该单位750名职工共捐书多少本？

如图，点 $A$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一条直线上，已知 $AF = DC$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $BC / / EF$ ，求证： $AB = DE$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 经过 $ΔOAB$ 的三个顶点，其中点 $A (1, \sqrt{3})$ ，点 $B (3, - \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P (4, m)$ ， $Q (t, n)$ 为该抛物线上的两点，且 $n < m$ ，求 $t$ 的取值范围；

（3）若 $C$ 为线段 $AB$ 上的一个动点，当点 $A$ ，点 $B$ 到直线 $OC$ 的距离之和最大时，求 $∠ BOC$ 的大小及点 $C$ 的坐标．

（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 $ABC$ ，其中 $AB = AC$ ，在 $ΔABC$ 的外侧分别以 $AB$ ， $AC$ 为腰作了两个等腰直角三角形 $ABD$ ， $ACE$ ，分别取 $BD$ ， $CE$ ， $BC$ 的中点 $M$ ， $N$ ， $G$ ，连接 $GM$ ， $GN$ ．小明发现了：线段 $GM$ 与 $GN$ 的数量关系是　　；位置关系是　　．

（2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 $ABC$ 换为一般的锐角三角形，其中 $AB > AC$ ，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．

（3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向 $ΔABC$ 的内侧分别作等腰直角三角形 $ABD$ ， $ACE$ ，其它条件不变，试判断 $ΔGMN$ 的形状，并给与证明．

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