已知函数
，设函数
（Ⅰ）求证：
是奇函数；
（Ⅱ）（1） 求证：
；
（1） 结合（1）的结论求
的值；
（Ⅲ）仿上，设
是
上的奇函数，请你写出一个函数
的解析式，并根据第（Ⅱ）问的结论，猜想函数满足的一般性结论.
若
是方程
的两根，且
求
的值.
设集合
是函数
的定义域，集合
是函数
的值域.
（Ⅰ）求集合
;
（Ⅱ）设集合
，若集合
，求实数
的取值范围.
已知椭圆
：
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图)，直线
分别与椭圆交于
两点，其中点
满足
，且
.
①证明直线
与
轴交点的位置与
无关；
②若∆
面积是∆
面积的5倍，求的值；
(2)若圆
:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆于
、
两点,
交椭圆于另一点
.求
面积取最大值时直线的方程.
已知数列
，
是其前
项的和，且满足
，对一切
都有
成立，设
．
（1）求
；
（2）求证：数列
是等比数列；
（3）求使
成立的最小正整数的值．
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
(1)求抛物线方程；
(2)求证：
．