如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，-优题课

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点为 $A (4, 3)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B (0, - 5)$ ，对称轴为直线 $l$ ，点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点 $M$ 的坐标并求直线 $AB$ 的表达式；

（3）设动点 $P$ ， $Q$ 分别在抛物线和对称轴 $l$ 上，当以 $A$ ， $P$ ， $Q$ ， $M$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求 $P$ ， $Q$ 两点的坐标．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，以 $BC$ 边为直径作半圆 $O$ ， $OE ⊥ OA$ 交 $CD$ 边于点 $E$ ，对角线 $AC$ 与半圆 $O$ 的另一个交点为 $P$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $AE$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）若 $PA = 2$ ， $PC = 4$ ，求 $AE$ 的长．

为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的 $5.6 %$ ，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩 $(x$ 分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：

分数段（分 $)$	频数（人 $)$	频率
$51 ⩽ x < 61$	$a$	0.1
$61 ⩽ x < 71$	18	0.18
$71 ⩽ x < 81$	$b$	$n$
$81 ⩽ x < 91$	35	0.35
$91 ⩽ x < 101$	12	0.12
合计	100	1

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）该校对考试成绩为 $91 ⩽ x ⩽ 100$ 的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为 $1 : 3 : 6$ ，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

如图，菱形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，点 $D (4, 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，直线 $y = \frac{2}{3} x + b$ 经过点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，连接 $AC$ ， $AE$ ．

（1）求 $k$ ， $b$ 的值；

（2）求 $ΔACE$ 的面积．