在直三棱柱
中，
="2" ,
.点
分别是
,
的中点，
是棱
上的动点.
（I）求证：
平面
；
(II)若
//平面
，试确定点的位置，
并给出证明；
(III)求二面角
的余弦值.
【
[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设
，实数
满足
，求证：
．
[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），若以直角坐标系
的
点为极点，
为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线
的极坐标方程为
．直线与曲线交于
两点，求
．
[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵
有特征值
及对应的一个特征向量
，求曲线
在
的作用下的新曲线方程．
[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，在梯形
中，
∥BC，点
，
分别在边
，
上，设
与
相交于点
，若
，
，，四点共圆，求证：
． 
设各项均为正实数的数列
的前
项和为
，且满足
（
）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的通项公式为
（
），若
，
，
（
）成等差数列，求
和
的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项
，
，
．