计算（每题3分，共9分）-优题课

计算 $(\frac{a}{b^{2} + ab} - \frac{2}{a + b} + \frac{b}{a^{2} + ab}) \div \frac{a - b}{ab}$ ．

解方程 $\frac{2}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x - 1}$ ．

解不等式 $1 + 2 (x - 1) ⩽ 3$ ，并在数轴上表示解集．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

（1） $ΔABC$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $AC$ 上的一点，且 $AE = 1$ ，小亮以 $BE$ 为边作等边三角形 $BEF$ ，如图1．求 $CF$ 的长；

（2） $ΔABC$ 是边长为3的等边三角形， $E$ 是边 $AC$ 上的一个动点，小亮以 $BE$ 为边作等边三角形 $BEF$ ，如图2．在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $A$ 的运动过程中，求点 $F$ 所经过的路径长；

（3） $ΔABC$ 是边长为3的等边三角形， $M$ 是高 $CD$ 上的一个动点，小亮以 $BM$ 为边作等边三角形 $BMN$ ，如图3．在点 $M$ 从点 $C$ 到点 $D$ 的运动过程中，求点 $N$ 所经过的路径长；

（4）正方形 $ABCD$ 的边长为3， $E$ 是边 $CB$ 上的一个动点，在点 $E$ 从点 $C$ 到点 $B$ 的运动过程中，小亮以 $B$ 为顶点作正方形 $BFGH$ ，其中点 $F$ 、 $G$ 都在直线 $AE$ 上，如图4．当点 $E$ 到达点 $B$ 时，点 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 与点 $B$ 重合．则点 $H$ 所经过的路径长为　　，点 $G$ 所经过的路径长为　　．

如图，抛物线 $y = m x^{2} + (m^{2} + 3) x - (6 m + 9)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $B (3, 0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和直线 $BC$ 对应的函数表达式；

（2） $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{ΔPBC} = S_{ΔABC}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

（3） $Q$ 为抛物线上一点，若 $∠ ACQ = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．