阅读下列材料：小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，-优题课

阅读下列材料：
小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.
他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D. 将∠BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形.
喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.
他的做法是：

如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论：
当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．
请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚 $E$ 处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶 $C$ 处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点 $P$ 处，也可以通过滑行索道到达景点 $Q$ 处，在山顶 $C$ 处观测坡底 $A$ 的俯角为 $75 °$ ，观测 $Q$ 处的俯角为 $30 °$ ，已知右侧小山的坡角为 $30 °$ （图中的点 $C$ ， $E$ ， $A$ ， $B$ ， $P$ ， $Q$ 均在同一平面内，点 $A$ ， $Q$ ， $P$ 在同一直线上）

（1）求 $∠ CAP$ 的度数及 $CP$ 的长度；

（2）求 $P$ ， $Q$ 两点之间的距离．（结果保留根号）

俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．

（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？

（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？

自我省深化课程改革以来，铁岭市某校开设了： $A$ ．利用影长求物体高度， $B$ ．制作视力表， $C$ ．设计遮阳棚， $D$ ．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息解决下列问题：

（1）本次共调查　　名学生，扇形统计图中 $B$ 所对应的扇形的圆心角为　　度；

（2）补全条形统计图；

（3）选修 $D$ 类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} + bx - 1$ 经过点 $A (- 2, 1)$ 和点 $B (- 1, - 1)$ ，抛物线 $C_{2} : y = 2 x^{2} + x + 1$ ，动直线 $x = t$ 与抛物线 $C_{1}$ 交于点 $N$ ，与抛物线 $C_{2}$ 交于点 $M$ ．

（1）求抛物线 $C_{1}$ 的表达式；

（2）直接用含 $t$ 的代数式表示线段 $MN$ 的长；

（3）当 $ΔAMN$ 是以 $MN$ 为直角边的等腰直角三角形时，求 $t$ 的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线 $C_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，点 $M$ 在 $y$ 轴右侧的抛物线 $C_{2}$ 上，连接 $AM$ 交 $y$ 轴于点 $K$ ，连接 $KN$ ，在平面内有一点 $Q$ ，连接 $KQ$ 和 $QN$ ，当 $KQ = 1$ 且 $∠ KNQ = ∠ BNP$ 时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

已知： $ΔABC$ 是等腰三角形， $CA = CB$ ， $0 ° < ∠ ACB ⩽ 90 °$ ．点 $M$ 在边 $AC$ 上，点 $N$ 在边 $BC$ 上（点 $M$ 、点 $N$ 不与所在线段端点重合）， $BN = AM$ ，连接 $AN$ ， $BM$ ，射线 $AG / / BC$ ，延长 $BM$ 交射线 $AG$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在直线 $AN$ 上，且 $AE = DE$ ．

（1）如图，当 $∠ ACB = 90 °$ 时

①求证： $ΔBCM ≅ ΔACN$ ；

②求 $∠ BDE$ 的度数；

（2）当 $∠ ACB = α$ ，其它条件不变时， $∠ BDE$ 的度数是　　；（用含 $α$ 的代数式表示）

（3）若 $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 3 \sqrt{3}$ ，点 $N$ 是 $BC$ 边上的三等分点，直线 $ED$ 与直线 $BC$ 交于点 $F$ ，请直接写出线段 $CF$ 的长．