已知一副三角板ABE与ACD.将两个三角板如图（5）放置，连-优题课

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ， $P$ 为 $ΔABC$ 内部一点，且 $∠ APB = ∠ BPC = 135 °$ ．

（1）求证： $ΔPAB ∽ ΔPBC$ ；

（2）求证： $PA = 2 PC$ ；

（3）若点 $P$ 到三角形的边 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ，求证 $h_{1}^{2} = h_{2} \cdot h_{3}$ ．

一次函数 $y = kx + 4$ 与二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象的一个交点坐标为 $(1, 2)$ ，另一个交点是该二次函数图象的顶点．

（1）求 $k$ ， $a$ ， $c$ 的值；

（2）过点 $A (0$ ， $m) (0 < m < 4)$ 且垂直于 $y$ 轴的直线与二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象相交于 $B$ ， $C$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，记 $W = O A^{2} + B C^{2}$ ，求 $W$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求 $W$ 的最小值．

为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的各数据按从小到大的顺序整理成如下表格：

编号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨	⑩	⑪	⑫	⑬	⑭	⑮
尺寸 $(cm)$	8.72	8.88	8.92	8.93	8.94	8.96	8.97	8.98	$a$	9.03	9.04	9.06	9.07	9.08	$b$

按照生产标准，产品等次规定如下：

尺寸（单位： $cm)$	产品等次
$8.97 ⩽ x ⩽ 9.03$	特等品
$8.95 ⩽ x ⩽ 9.05$	优等品
$8.90 ⩽ x ⩽ 9.10$	合格品
$x < 8.90$ 或 $x > 9.10$	非合格品

注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内．

（1）已知此次抽检的合格率为 $80 %$ ，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．

（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为 $9 cm$ ．

$(i)$ 求 $a$ 的值；

$(ii)$ 将这些优等品分成两组，一组尺寸大于 $9 cm$ ，另一组尺寸不大于 $9 cm$ ，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．

如图，点 $E$ 在 $▱ ABCD$ 内部， $AF / / BE$ ， $DF / / CE$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔADF$ ；

（2）设 $▱ ABCD$ 的面积为 $S$ ，四边形 $AEDF$ 的面积为 $T$ ，求 $\frac{S}{T}$ 的值．

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心 $O$ 为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦 $AB$ 长为6米， $∠ OAB = 41.3 °$ ，若点 $C$ 为运行轨道的最高点 $(C$ ， $O$ 的连线垂直于 $AB)$ ，求点 $C$ 到弦 $AB$ 所在直线的距离．

（参考数据： $\sin 41.3 ° \approx 0.66$ ， $\cos 41.3 ° \approx 0.75$ ， $\tan 41.3 ° \approx 0.88)$