化简：-优题课

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = mx$ 与双曲线 $y = \frac{n}{x}$ 相交于 $A (- 2, a)$ 、 $B$ 两点， $BC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $ΔAOC$ 的面积是2．

（1）求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）求直线 $AC$ 的解析式．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 是 $AB$ 延长线上的一点，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，且 $AC = CD$ ， $∠ ACD = 120 °$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3，求图中阴影部分的面积．

为庆祝建国70周年，东营市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；

（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．

（1）计算： ${(\frac{1}{2019})}^{- 1} + {(3.14 - π)}^{0} + | 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} | + 2 \sin 45 ° - \sqrt{12}$ ；

（2）化简求值： $(\frac{a}{a - b} - \frac{b^{2}}{a^{2} - ab}) \div \frac{a^{2} + 2 ab + b^{2}}{a}$ ，当 $a = - 1$ 时，请你选择一个适当的数作为 $b$ 的值，代入求值．

如图，抛物线 $y = m x^{2} - \frac{5}{2} mx - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $x_{2} - x_{1} = \frac{11}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $P (x_{3}$ ， $y_{3})$ ， $Q (x_{4}$ ， $y_{4})$ 是抛物线上的两点，当 $a ⩽ x_{3} ⩽ a + 2$ ， $x_{4} ⩾ \frac{9}{2}$ 时，均有 $y_{3} ⩽ y_{4}$ ，求 $a$ 的取值范围；

（3）抛物线上一点 $D (1, - 5)$ ，直线 $BD$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，动点 $M$ 在线段 $BD$ 上，当 $∠ BDC = ∠ MCE$ 时，求点 $M$ 的坐标．