如图，直线分别交轴，轴于点，点是直线与双曲线在第一象限内的交-优题课

如图，直线分别交轴，轴于点，点是直线与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点，的面积为4．

（1）求点的坐标；
（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点的坐标．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：平行线分线段成比例

如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 坐标为 $(6, 0)$ ，点 $C$ 坐标为 $(0, 6)$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ ，连接 $BD$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$ 的坐标；

（2）点 $F$ 是抛物线上的动点，当 $∠ FBA = ∠ BDE$ 时，求点 $F$ 的坐标；

（3）若点 $M$ 是抛物线上的动点，过点 $M$ 作 $MN / / x$ 轴与抛物线交于点 $N$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，点 $Q$ 在坐标平面内，以线段 $MN$ 为对角线作正方形 $MPNQ$ ，请写出点 $Q$ 的坐标．

如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $E$ 在 $AC$ 上（且不与点 $A$ ， $C$ 重合），在 $ΔABC$ 的外部作 $ΔCED$ ，使 $∠ CED = 90 °$ ， $DE = CE$ ，连接 $AD$ ，分别以 $AB$ ， $AD$ 为邻边作平行四边形 $ABFD$ ，连接 $AF$ ．

（1）请直接写出线段 $AF$ ， $AE$ 的数量关系　　；

（2）将 $ΔCED$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，当点 $E$ 在线段 $BC$ 上时，如图②，连接 $AE$ ，请判断线段 $AF$ ， $AE$ 的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将 $ΔCED$ 绕点 $C$ 继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 $y$ （本 $)$ 与每本纪念册的售价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．

（1）请直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？

（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 $w$ 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交线段 $BC$ ， $AC$ 于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为 $F$ ，线段 $FD$ ， $AB$ 的延长线相交于点 $G$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $CF = 1$ ， $DF = \sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 $A$ ， $B$ 两个凉亭之间的距离．如图，现测得 $∠ ABC = 30 °$ ， $∠ CAB = 15 °$ ， $AC = 200$ 米，请计算 $A$ ， $B$ 两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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