计算：-优题课

如图，二次函数 $y_{1} = a {(x - m)}^{2} + n$ ， $y_{2} = 6 a x^{2} + n (a < 0$ ， $m > 0$ ， $n > 0)$ 的图象分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上，且位于 $y$ 轴右侧，直线 $PA$ 与 $C_{2}$ 在 $y$ 轴左侧的交点为 $B$ ．

（1）若 $P$ 点的坐标为 $(0, 2)$ ， $C_{1}$ 的顶点坐标为 $(2, 4)$ ，求 $a$ 的值；

（2）设直线 $PA$ 与 $y$ 轴所夹的角为 $α$ ．

①当 $α = 45 °$ ，且 $A$ 为 $C_{1}$ 的顶点时，求 $am$ 的值；

②若 $α = 90 °$ ，试说明：当 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 各自取不同的值时， $\frac{PA}{PB}$ 的值不变；

（3）若 $PA = 2 PB$ ，试判断点 $A$ 是否为 $C_{1}$ 的顶点？请说明理由．

如图，正方形 $ABCD$ 的边长为6， $M$ 为 $AB$ 的中点， $ΔMBE$ 为等边三角形，过点 $E$ 作 $ME$ 的垂线分别与边 $AD$ 、 $BC$ 相交于点 $F$ 、 $G$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $EF$ 、 $BC$ 上运动，且满足 $∠ PMQ = 60 °$ ，连接 $PQ$ ．

（1）求证： $ΔMEP ≅ ΔMBQ$ ．

（2）当点 $Q$ 在线段 $GC$ 上时，试判断 $PF + GQ$ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．

（3）设 $∠ QMB = α$ ，点 $B$ 关于 $QM$ 的对称点为 $B^{'}$ ，若点 $B^{'}$ 落在 $ΔMPQ$ 的内部，试写出 $α$ 的范围，并说明理由．

如图，在 $⊙ O$ 中，点 $P$ 为 $\hat{AB}$ 的中点，弦 $AD$ 、 $PC$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $BC$ 分别与 $AD$ 、 $PD$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $BD$ 、 $MN$ ．

（1）求证： $N$ 为 $BE$ 的中点．

（2）若 $⊙ O$ 的半径为8， $\hat{AB}$ 的度数为 $90 °$ ，求线段 $MN$ 的长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 3$ ， $BC = 4$ ， $P$ 为 $BC$ 边上的动点（与 $B$ 、 $C$ 不重合）， $PD / / AB$ ，交 $AC$ 于点 $D$ ，连接 $AP$ ，设 $CP = x$ ， $ΔADP$ 的面积为 $S$ ．

（1）用含 $x$ 的代数式表示 $AD$ 的长；

（2）求 $S$ 与 $x$ 的函数表达式，并求当 $S$ 随 $x$ 增大而减小时 $x$ 的取值范围．

我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 $15 m$ 的 $A$ 处测得在 $C$ 处的龙舟俯角为 $23 °$ ；他登高 $6 m$ 到正上方的 $B$ 处测得驶至 $D$ 处的龙舟俯角为 $50 °$ ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\tan 23 ° \approx 0.42$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36)$