某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单，每-优题课

题文

某企业接到生产3000台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产 $A$ 部件６件，或 $B$ 部件３件，或 $C$ 部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 $B$ 部件的人数与生产 $A$ 部件的人数成正比，比例系数为 $k$ （ $k$ 为正整数）.
（１）设生产 $A$ 部件的人数为 $x$ ，分别写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产需要的时间；
（２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

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在 $△ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 C = - \frac{1}{4}$ .

(I)求 $\sin C$ 的值；
(Ⅱ)当 $a = 2, 2 \sin A = \sin C$ 时，求 $b$ 及 $c$ 的长．

在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0$ ，且对任意 $k \in N^{+}, a_{2 k - 1}, a_{2 k}, a_{2 k + 1}$ 成等差数列，其公差为 $d_{k}$ .
（Ⅰ）若 $d_{k} = 2 k$ ，证明 $a_{2 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}$ 成等比数列（ $k \in N^{+}$ ）
（Ⅱ）若对任意 $k \in N^{+}$ ， $a_{2 k}, a_{2 k + 1}, a_{2 k + 2}$ 成等比数列，其公比为 $q_{k}$ .证明：对任意 $n \geq 2, n \in N^{+}$ ,有 $\frac{3}{2} < 2 n - \sum_{k = 2}^{n} \frac{k^{2}}{a_{k}} \leq 2$

已知函数 $f (x) = x c^{- x} (x \in R)$ .

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 $y = g (x)$ 的图象与函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，证明当 $x > 1$ 时， $f (x) > g (x)$

（Ⅲ）如果 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明 $x_{1} + x_{2} > 2$

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A, B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a, 0)$ ，点 $Q (0, y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\underset{Q A}{\to} . \underset{Q B}{\to} = 4$ ，求 $y_{0}$ 的值

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 上的点， $C F = A B = 2 C E, A B : A D : A A_{1} = 1 : 2 : 4$ .

（1）求异面直线 $E F$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值；
（2）证明 $A F ⊥$ 平面 $A_{1} E D$ ;

（3）求二面角 $A_{1} - E D - F$ 的正弦值.

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