如图19，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $OA = 2 OB$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ，抛物线对称轴为直线 $x = \frac{1}{2}$ ， $D$ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ，与 $AC$ 交于点 $F$ ，设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $DF$ 的长度最大时，求 $D$ 点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $E$ 是边 $AC$ 上一定点，点 $D$ 是直线 $BC$ 上一动点，以 $DE$ 为一边作等边三角形 $DEF$ ，连接 $CF$ ．

【问题解决】

如图1，若点 $D$ 在边 $BC$ 上，求证： $CE + CF = CD$ ；

【类比探究】

如图2，若点 $D$ 在边 $BC$ 的延长线上，请探究线段 $CE$ ， $CF$ 与 $CD$ 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

测量对象	男性 $(18 ~ 60$ 岁）				女性 $(18 ~ 55$ 岁）
抽样人数（人 $)$	2000	5000	20000	2000		5000	20000
平均身高（厘米）	173	175	176	164		165	164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　176　厘米，女性应采用　　厘米；

（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 $P$ 距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆 $AB$ ， $AC$ 的连接点 $A$ 处， $A$ 点距地面110厘米．臂杆落下时两端点 $B$ ， $C$ 在同一水平线上， $BC = 100$ 厘米，点 $C$ 在点 $P$ 的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

计算器按键顺序	计算结果（近似值）	计算器按键顺序	计算结果（近似值）
	0.1		78.7
	0.2		84.3
	1.7		5.7
	3.5		11.3

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $∠ D = 60 °$ ，对角线 $AC ⊥ BC$ ， $⊙ O$ 经过点 $A$ ， $B$ ，与 $AC$ 交于点 $M$ ，连接 $AO$ 并延长与 $⊙ O$ 交于点 $F$ ，与 $CB$ 的延长线交于点 $E$ ， $AB = EB$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AD = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\hat{AM}$ 的长（结果保留 $π)$ ．

新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售 $A$ ， $B$ 两种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中 $A$ ， $B$ 两种型号口罩所获利润之比为 $2 : 3$ ．已知每只 $B$ 型口罩的销售利润是 $A$ 型口罩的1.2倍．

（1）求每只 $A$ 型口罩和 $B$ 型口罩的销售利润；

（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中 $B$ 型口罩的进货量不超过 $A$ 型口罩的1.5倍，设购进 $A$ 型口罩 $m$ 只，这10000只口罩的销售总利润为 $W$ 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？