某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书-优题课

如图，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上， $AB = AC$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $BD = CE$ ．

解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ．

计算 $(a - 1 + \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} + 2 a}{a + 1}$ ．

（1）如图1，点 $P$ 为矩形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 上一点，过点 $P$ 作 $EF / / BC$ ，分别交 $AB$ 、 $CD$ 于点 $E$ 、 $F$ ．若 $BE = 2$ ， $PF = 6$ ， $ΔAEP$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔCFP$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} + S_{2} =$ 　　；

（2）如图2，点 $P$ 为 $▱ ABCD$ 内一点（点 $P$ 不在 $BD$ 上），点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为各边的中点．设四边形 $AEPH$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $PFCG$ 的面积为 $S_{2}$ （其中 $S_{2} > S_{1})$ ，求 $ΔPBD$ 的面积（用含 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的代数式表示）；

（3）如图3，点 $P$ 为 $▱ ABCD$ 内一点（点 $P$ 不在 $BD$ 上），过点 $P$ 作 $EF / / AD$ ， $HG / / AB$ ，与各边分别相交于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ．设四边形 $AEPH$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $PGCF$ 的面积为 $S_{2}$ （其中 $S_{2} > S_{1})$ ，求 $ΔPBD$ 的面积（用含 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的代数式表示）；

（4）如图4，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 把 $⊙ O$ 四等分．请你在圆内选一点 $P$ （点 $P$ 不在 $AC$ 、 $BD$ 上），设 $PB$ 、 $PC$ 、 $\hat{BC}$ 围成的封闭图形的面积为 $S_{1}$ ， $PA$ 、 $PD$ 、 $\hat{AD}$ 围成的封闭图形的面积为 $S_{2}$ ， $ΔPBD$ 的面积为 $S_{3}$ ， $ΔPAC$ 的面积为 $S_{4}$ ，根据你选的点 $P$ 的位置，直接写出一个含有 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4}$ 的等式（写出一种情况即可）．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，把与 $x$ 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线 $L_{1} : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 的顶点为 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ．抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为 $P$ ．

（1）若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(2, - 12)$ ，求 $L_{2}$ 对应的函数表达式；

（2）当 $BP - CP$ 的值最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）设点 $Q$ 是抛物线 $L_{1}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若 $ΔDPQ$ 与 $ΔABC$ 相似，求其“共根抛物线” $L_{2}$ 的顶点 $P$ 的坐标．