（本小题共12分）甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分-优题课

（本小题共12分）
甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：随机思想的发展

如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ．

（1）证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $150 °$ 时，求 $B_{2} P$ ．

已知在 $△ A B C$ 中， $A + B = 3 C$ ， $2 \sin (A - C) = \sin B$ ．

（1）求 $\sin A$ ；

（2）设 $A B = 5$ ，求 $A B$ 边上的高．

[选修4-5：不等式选讲]

已知 $f (x) = 2 |x| + |x - 2|$ ．

（1）求不等式 $f (x) \leq 6 - x$ 的解集；

（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，求不等式组 $\{\begin{cases} f (x) \leq y \\ x + y - 6 \leq 0 \end{cases}$ 所确定的平面区域的面积．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，曲线 $C_{2} : \{\begin{cases} x = 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{cases}$ （ $α$ 为参数， $\frac{π}{2} < α < π$ ）．

（1）写出 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

（2）若直线 $y = x + m$ 既与 $C_{1}$ 没有公共点，也与 $C_{2}$ 没有公共点、求 $m$ 的取值范围．

已知函数 $f (x) = (\frac{1}{x} + a) \ln (1 + x)$ ．

（1）当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2）是否存在 $a$ ， $b$ ，使得曲线 $y = f (\frac{1}{x})$ 关于直线 $x = b$ 对称，若存在，求 $a$ ， $b$ 的值，若不存在，说明理由；

（3）若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

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