已知，求的值．-优题课

先化简，再求值： $(\frac{x}{x - y} - 1) \div \frac{y}{x^{2} - y^{2}}$ ，其中 $x = \sqrt{3} - 2$ ， $y = {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

计算 $| \sqrt{2} - 1 | + 3^{- 2} - 2 \sin 45 ° + {(3 - π)}^{0}$ ．

先化简，再求值： $(\frac{a + 2}{a^{2} - 2 a} + \frac{1 - a}{a^{2} - 4 a + 4}) \div \frac{a - 4}{a}$ ，其中 $a = {(π - \sqrt{3})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{8} - 4 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $BC$ ， $CD$ 上的动点（不与点 $B$ ， $C$ ， $D$ 重合）， $AM$ ， $AN$ 分别交 $BD$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $∠ MAN$ 始终保持 $45 °$ 不变．

（1）求证： $\frac{AF}{AM} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

（2）求证： $AF ⊥ FM$ ；

（3）请探索：在 $∠ MAN$ 的旋转过程中，当 $∠ BAM$ 等于多少度时， $∠ FMN = ∠ BAM$ ？写出你的探索结论，并加以证明．