化简：．-优题课

如图，已知 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $H$ ，与 $AC$ 平行的圆 $O$ 的一条切线交 $CD$ 的延长线于点 $M$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，切点为 $F$ ，连接 $AF$ 交 $CD$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $CA = CN$ ；

（2）连接 $DF$ ，若 $\cos ∠ DFA = \frac{4}{5}$ ， $AN = 2 \sqrt{10}$ ，求圆 $O$ 的直径的长度．

如图，设反比例函数的解析式为 $y = \frac{3 k}{x} (k > 0)$ ．

（1）若该反比例函数与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象有一个交点的纵坐标为2，求 $k$ 的值；

（2）若该反比例函数与过点 $M (- 2, 0)$ 的直线 $l : y = kx + b$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，如图所示，当 $ΔABO$ 的面积为 $\frac{16}{3}$ 时，求直线 $l$ 的解析式．

江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．

（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？

（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．

红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查，从试验田中随机抽取了30株，得到的数据如下（单位：颗） $:$

（1）对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析，请补全下表中空格，并完善直方图：

谷粒颗数

$175 ⩽ x < 185$

$185 ⩽ x < 195$

$195 ⩽ x < 205$

$205 ⩽ x < 215$

$215 ⩽ x < 225$

频数

8

10

3

对应扇形

图中区域

$D$

$E$

$C$

如图所示的扇形统计图中，扇形 $A$ 对应的圆心角为　　度，扇形 $B$ 对应的圆心角为　　度；

（2）该试验田中大约有3000株水稻，据此估计，其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株？

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，已知 $A (3, 0)$ ，且 $M (1, - \frac{8}{3})$ 是抛物线上另一点．

（1）求 $a$ 、 $b$ 的值；

（2）连接 $AC$ ，设点 $P$ 是 $y$ 轴上任一点，若以 $P$ 、 $A$ 、 $C$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$ 点的坐标；

（3）若点 $N$ 是 $x$ 轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$ 、 $A$ 重合），过点 $N$ 作 $NH / / AC$ 交抛物线的对称轴于 $H$ 点．设 $ON = t$ ， $ΔONH$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式．