2011年，陕西西安被教育部列为减负工作改革试点地区。学生的-优题课

如图， $OM$ 是 $⊙ O$ 的半径，过 $M$ 点作 $⊙ O$ 的切线 $AB$ ，且 $MA = MB$ ， $OA$ ， $OB$ 分别交 $⊙ O$ 于 $C$ ， $D$ ．求证： $AC = BD$ ．

先化简，再求值： $(\frac{2 a - 1}{a + 1} - \frac{a}{a + 1}) \div \frac{a - 1}{a}$ ，其中 $a = - 2$ ．

计算： ${(- 3)}^{2} + 2 \times (\sqrt{2} - 1) - | - 2 \sqrt{2} |$ ．

已知直线 $y = kx - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - bx + c (b$ ， $c$ 为常数， $b > 0)$ 的一个交点为 $A (- 1, 0)$ ，点 $M (m, 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y = kx - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - bx + c (b$ ， $c$ 为常数， $b > 0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{ΔEQM} = \frac{1}{2} S_{ΔACE}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b + \frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2} AM + 2 DM$ 的最小值为 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

问题背景：如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $∠ BCD = 90 °$ ， $BA = BC$ ， $∠ ABC = 120 °$ ， $∠ MBN = 60 °$ ， $∠ MBN$ 绕 $B$ 点旋转，它的两边分别交 $AD$ 、 $DC$ 于 $E$ 、 $F$ ．探究图中线段 $AE$ ， $CF$ ， $EF$ 之间的数量关系．

小李同学探究此问题的方法是：延长 $FC$ 到 $G$ ，使 $CG = AE$ ，连接 $BG$ ，先证明 $ΔBCG ≅ ΔBAE$ ，再证明 $ΔBFG ≅ ΔBFE$ ，可得出结论，他的结论就是　　；

探究延伸1：如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $∠ BCD = 90 °$ ， $BA = BC$ ， $∠ ABC = 2 ∠ MBN$ ， $∠ MBN$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $AD$ 、 $DC$ 于 $E$ 、 $F$ ，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出"成立"或者"不成立" $)$ ，不要说明理由；

探究延伸2：如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $BA = BC$ ， $∠ BAD + ∠ BCD = 180 °$ ， $∠ ABC = 2 ∠ MBN$ ， $∠ MBN$ 绕 $B$ 点旋转．它的两边分别交 $AD$ 、 $DC$ 于 $E$ 、 $F$ ．上述结论是否仍然成立？并说明理由；

实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 $(O$ 处）北偏西 $30 °$ 的 $A$ 处．舰艇乙在指挥中心南偏东 $70 °$ 的 $B$ 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里 $/$ 小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 $50 °$ 的方向以100海里 $/$ 小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 $E$ 、 $F$ 处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 $70 °$ ．试求此时两舰艇之间的距离．