如图，椭圆 $M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $x=\pm a$和 $y=\pm b$所围成的矩形 $ABCD$的面积为8.

(Ⅰ)求椭圆 $M$的标准方程；
(Ⅱ) 设直线 $l:y=x+m\left(m\in R\right)$与椭圆 $M$有两个不同的交点 $P,Q,L$与矩形 $ABCD$有两个不同的交点 $S,T$.求 $\frac{\left|PQ\right|}{\left|ST\right|}$的最大值及取得最大值时 $m$的值.

科目 数学   题型 解答题   难度 容易