计算：-优题课

6月26日是"国际禁毒日"，某中学组织七、八年级全体学生开展了"禁毒知识"网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分数

人数

年级

80

85

90

95

100

七年级

2

3

2

1

八年级

1

2

4

$a$

1

解析数据：

	平均数	中位数	众数	方差
七年级	89	$b$	90	39
八年级	$c$	90	$d$	30

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值；

（2）通过数据解析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为"优秀"．估计这两个年级共有多少名学生达到"优秀"？

如图，将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔDBE$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $AB$ 的延长线上，连接 $AD$ ．

（1）求证： $BC / / AD$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

阅读下列"问题"与"提示"后，将解方程的过程补充完整，求出 $x$ 的值．

【问题】解方程： $x^{2} + 2 x + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x} - 5 = 0$ ．

【提示】可以用"换元法"解方程．

解：设 $\sqrt{x^{2} + 2 x} = t (t ⩾ 0)$ ，则有 $x^{2} + 2 x = t^{2}$

原方程可化为： $t^{2} + 4 t - 5 = 0$

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，其中 $a$ 是不等式组 $\{\begin{matrix} a - 2 ⩾ 2 - a① \\ 2 a - 1 < a + 3 ② \end{matrix}$ 的最小整数解．

如图，抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点 $P$ 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PC ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ， $PC$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，求 $PD + BD$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线 $L : y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{5}{4} x - 3$ 向右平移得到抛物线 $L^{'}$ ，直线 $AB$ 与抛物线 $L^{'}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 是线段 $MN$ 的中点，求抛物线 $L^{'}$ 的解析式．