已知，求代数式的值.-优题课

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C, D$ 是 $⊙ O$ 上不同的两点，直线 $BD$ 交线段 $OC$ 于点 $E$ ，交过点 $C$ 的直线 $CF$ 于点 $F$ ，若 $OC = 3 CE$ ，且 $9 (E F^{2} - C F^{2}) = O C^{2}$ .

（1）求证:直线 $CF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $OD, AD, AC, DC$ ，若 $∠ COD = 2 ∠ BOC$ .

①求证: $△ ACD \sim △ OBE$ ；

②过点 $E$ 作 $EG / / AB$ ，交线段 $AC$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $AC$ 的中点，若 $AD = 4$ ，求线段 $MG$ 的长度.

点 $P$ 到图形 $Q$ （可以是线段、三角形、圆或不规则图形等）的距离是指点 $P$ 与图形 $Q$ 中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段 $PQ$ 的长度都表示点 $P$ 到图形 $Q$ 的距离.

如图②，在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $△ ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2, 1), B (0, 3), C (6, 3)$ ，点 $P$ 从原点出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度向 $x$ 轴的正方向运动了 $t s$ .

（1）当 $t = 0$ 时，求点 $P$ 到 $△ ABC$ 的距离；

（2）当点 $P$ 到 $△ ABC$ 的距离等于线段 $AP$ 的长度时，求 $t$ 的取值范围；

（3）当点 $P$ 到 $△ ABC$ 的距离大于 $\sqrt{5}$ 时，求 $t$ 的取值范围.

如图，四边形 $ABCD, DEFG$ 都是正方形，连接 $AE, CG, AE$ 与 $CG$ 相交于点 $M, CG$ 与 $AD$ 相交于点 $N$ .求证:

（1） $AE = CG;$

（2） $AN \cdot DN = CN \cdot MN$ .

如图， $BD, CE$ 分别是 $△ ABC$ 的两边上的高，过 $D$ 作 $DG ⊥ BC$ 于点 $G$ ，分别交 $CE$ 及 $BA$ 的延长线于点 $F, H$ .求证:

（1） $D G^{2} = BG \cdot CG$ ；

（2） $BG \cdot CG = GF \cdot GH$ .

如图，在 $△ ABC$ 中， $BAC = 90^{\circ}, AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为直角边 $AC$ 的中点，过点 $D, E$ 作直线交 $AB$ 的延长线于点 $F$ .求证: $\frac{AB}{AC} = \frac{DF}{AF}$ .