计算：．-优题课

某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：

A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；

B：陇南市两当兵变纪念馆；

C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆；

D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆．

小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地，请你用树状图或列表的方法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率．

如图，在 $△ ABC$ 中， $AB ＝ AC$ ，点D，E分别是AC和AB的中点．求证： $BD ＝ CE$ ．

如图，在直角坐标系中，四边形 $OABC$ 是平行四边形，经过 $A (- 2, 0)$ ， $B$ ， $C$ 三点的抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{8}{3} (a < 0)$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $D$ ，其顶点为 $M$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$ 是抛物线上的点，使得 $ΔADR$ 的面积是 $▱ OABC$ 的面积的 $\frac{3}{4}$ ，求点 $R$ 的坐标；

（3）已知 $P$ 是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $MD$ 上存在唯一的点 $Q$ ，使得 $∠ PQE = 45 °$ ，求点 $P$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 边于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $R$ ， $AF = h$ ．

（1）过点 $D$ 作直线 $MN / / BC$ ，求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $AB \cdot AC = 2 R \cdot h$ ；

（3）设 $∠ BAC = 2 α$ ，求 $\frac{AB + AC}{AD}$ 的值（用含 $α$ 的代数式表示）．

如图，著名旅游景区 $B$ 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 $C$ 地，沿折线 $A \to C \to B$ 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 $A$ 地到景区 $B$ 的笔直公路．请结合 $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $BC = 100$ 千米， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ 等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从 $A$ 地到景区 $B$ 旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加 $25 %$ ，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？