计算：.-优题课

计算：

（1） $| - 3 | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(\sqrt{2019})}^{0}$ ；

（2） $2 a^{3} \cdot a^{3} - {(a^{2})}^{3}$ ．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AC = BC = 4$ ， $∠ ACB = 90 °$ ，正方形 $BDEF$ 的边长为2，将正方形 $BDEF$ 绕点 $B$ 旋转一周，连接 $AE$ 、 $BE$ 、 $CD$ ．

（1）请找出图中与 $ΔABE$ 相似的三角形，并说明理由；

（2）求当 $A$ 、 $E$ 、 $F$ 三点在一直线上时 $CD$ 的长；

（3）设 $AE$ 的中点为 $M$ ，连接 $FM$ ，试求 $FM$ 长的取值范围．

已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 ax + c (a < 0)$ 的图象与它的对称轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C (0, - 2)$ ，其对称轴与 $x$ 轴相交于点 $B$

（1）若直线 $BC$ 与二次函数的图象的另一个交点 $D$ 在第一象限内，且 $BD = \sqrt{2}$ ，求这个二次函数的表达式；

（2）已知 $P$ 在 $y$ 轴上，且 $ΔPOA$ 为等腰三角形，若符合条件的点 $P$ 恰好有2个，试直接写出 $a$ 的值．

如图，一次函数 $y = x + 3$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 $A (1, m)$ ，与 $x$ 轴相交于点 $B$ ．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2） $C$ 为反比例函数的图象上异于点 $A$ 的一点，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，设直线 $AC$ 所对应的函数表达式为 $y = nx + b$ ．

①若 $ΔABD$ 的面积为12，求 $n$ 、 $b$ 的值；

②作 $CE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，记 $t = OE \cdot DE$ ，求 $n \cdot t$ 的值．

某校计划采购凳子，商场有 $A$ 、 $B$ 两种型号的凳子出售，并规定：对于 $A$ 型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠 $a$ 元； $B$ 型凳子的售价为40元 $/$ 张．学校经测算，若购买300张 $A$ 型凳子需要花费14250元；若购买500张 $A$ 型凳子需要花费21250元．

（1）求 $a$ 的值；

（2）学校要采购 $A$ 、 $B$ 两种型号凳子共900张，且购买 $A$ 型凳子不少于150张且不超过 $B$ 型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少是多少元？