解分式方程：.-优题课

如图，在平面直角坐标系中，过点 $A (2, 0)$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $\tan ∠ OAB = \frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 上的点 $P$ 位于 $y$ 轴左侧，且到 $y$ 轴的距离为1．

（1）求直线 $l$ 的表达式；

（2）若反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象经过点 $P$ ，求 $m$ 的值．

某校为了解学生的安全意识情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查一共抽取了　　名学生，其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）该校有1800名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，估计全校需要强化安全教育的学生约有　　名．

如图，小明在 $A$ 处测得风筝 $(C$ 处）的仰角为 $30 °$ ，同时在 $A$ 正对着风筝方向距 $A$ 处30米的 $B$ 处，小明测得风筝的仰角为 $60 °$ ，求风筝此时的高度．（结果保留根号）

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C_{1} : y = m x^{2} + n (m \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，其中 $A (- 1, 0)$ ， $C (0, - 1)$ ．

（1）求抛物线 $C_{1}$ 及直线 $AC$ 的解析式．

（2）沿直线 $AC$ 由 $A$ 至 $C$ 的方向平移抛物线 $C_{1}$ ，得到新的抛物线 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 上的点 $D$ 为 $C_{1}$ 上的点 $C$ 的对应点，若抛物线 $C_{2}$ 恰好经过点 $B$ ，同时与 $x$ 轴交于另一点 $E$ ，连接 $OD$ 、 $DE$ ，试判断 $ΔODE$ 的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，若 $P$ 为线段 $OE$ （不含端点）上一动点，作 $PF ⊥ DE$ 于 $F$ ， $PG ⊥ OD$ 于点 $G$ ，设 $PF = h_{1}$ ， $PG = h_{2}$ ．试判断 $h_{1} \cdot h_{2}$ 的值是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；如不存在，请说明理由．

如图，已知 $AB$ 、 $CD$ 为 $⊙ O$ 的两条直径， $DF$ 为切线，过 $AO$ 上一点 $N$ 作 $NM ⊥ DF$ 于 $M$ ，连接 $DN$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $ΔDMN ∽ ΔCED$ ．

（2）设 $G$ 为点 $E$ 关于 $AB$ 对称点，连接 $GD$ 、 $GN$ ，如果 $∠ DNO = 45 °$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求 $D N^{2} + G N^{2}$ 的值．