如图，甲乙两幢楼之间的距离CD等于45米，现在要测乙楼的高B-优题课

如图，甲乙两幢楼之间的距离CD等于45米，现在要测乙楼的高BC，（BC⊥CD），所选观察点A在甲楼一窗口处，AD∥BC．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 (取，结果精确到1米) .

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $O$ 为坐标原点，点 $B$ 的坐标为 $(4, 3)$ ，点 $A$ 、 $C$ 在坐标轴上，点 $P$ 在 $BC$ 边上，直线 $l_{1} : y = 2 x + 3$ ，直线 $l_{2} : y = 2 x - 3$ ．

（1）分别求直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴，直线 $l_{2}$ 与 $AB$ 的交点坐标；

（2）已知点 $M$ 在第一象限，且是直线 $l_{2}$ 上的点，若 $ΔAPM$ 是等腰直角三角形，求点 $M$ 的坐标；

（3）我们把直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 上的点所组成的图形为图形 $F$ ．已知矩形 $ANPQ$ 的顶点 $N$ 在图形 $F$ 上， $Q$ 是坐标平面内的点，且 $N$ 点的横坐标为 $x$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围（不用说明理由）．

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$ 的斜平移，如点 $P (2, 3)$ 经1次斜平移后的点的坐标为 $(3, 5)$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．

（1）分别写出点 $A$ 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点为点 $B$ ，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点为点 $C$ ．

①若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不在同一条直线上，判断 $ΔABC$ 是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$ 由点 $A$ 经 $n$ 次斜平移后得到，且点 $C$ 的坐标为 $(7, 6)$ ，求出点 $B$ 的坐标及 $n$ 的值．

如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条 $AB$ ， $BC$ ， $AD$ 不动， $AB = AD = 2 cm$ ， $BC = 5 cm$ ，如图，量得第四根木条 $CD = 5 cm$ ，判断此时 $∠ B$ 与 $∠ D$ 是否相等，并说明理由．

（2）若固定二根木条 $AB$ 、 $BC$ 不动， $AB = 2 cm$ ， $BC = 5 cm$ ，量得木条 $CD = 5 cm$ ， $∠ B = 90 °$ ，写出木条 $AD$ 的长度可能取得的一个值（直接写出一个即可）

（3）若固定一根木条 $AB$ 不动， $AB = 2 cm$ ，量得木条 $CD = 5 cm$ ，如果木条 $AD$ ， $BC$ 的长度不变，当点 $D$ 移到 $BA$ 的延长线上时，点 $C$ 也在 $BA$ 的延长线上；当点 $C$ 移到 $AB$ 的延长线上时，点 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 能构成周长为 $30 cm$ 的三角形，求出木条 $AD$ ， $BC$ 的长度．

课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 $6 m$ ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $0.35 m$ 时，透光面积最大值约为 $1.05 m^{2}$ ．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为 $6 m$ ，利用图3，解答下列问题：

（1）若 $AB$ 为 $1 m$ ，求此时窗户的透光面积？

（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 $A$ 处，测得河的北岸边点 $B$ 在其北偏东 $45 °$ 方向，然后向西走 $60 m$ 到达 $C$ 点，测得点 $B$ 在点 $C$ 的北偏东 $60 °$ 方向，如图2．

（1）求 $∠ CBA$ 的度数．

（2）求出这段河的宽（结果精确到 $1 m$ ，备用数据 $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$ ．