已知：-优题课

解不等式 $\frac{1 + x}{3} < x - 1$ ，并将解集在数轴上表示出来．

解方程： $\frac{2}{x} - \frac{1}{1 + x} = 0$ ．

计算： ${(- 1)}^{2016} - {(2 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{25}$ ．

问题背景：

如图①，在四边形 $ADBC$ 中， $∠ ACB = ∠ ADB = 90 °$ ， $AD = BD$ ，探究线段 $AC$ ， $BC$ ， $CD$ 之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将 $ΔBCD$ 绕点 $D$ ，逆时针旋转 $90 °$ 到 $ΔAED$ 处，点 $B$ ， $C$ 分别落在点 $A$ ， $E$ 处（如图② $)$ ，易证点 $C$ ， $A$ ， $E$ 在同一条直线上，并且 $ΔCDE$ 是等腰直角三角形，所以 $CE = \sqrt{2} CD$ ，从而得出结论： $AC + BC = \sqrt{2} CD$ ．

简单应用：

（1）在图①中，若 $AC = \sqrt{2}$ ， $BC = 2 \sqrt{2}$ ，则 $CD =$ 　　．

（2）如图③， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙$ 上， $\hat{AD} = \hat{BD}$ ，若 $AB = 13$ ， $BC = 12$ ，求 $CD$ 的长．

拓展规律：

（3）如图④， $∠ ACB = ∠ ADB = 90 °$ ， $AD = BD$ ，若 $AC = m$ ， $BC = n (m < n)$ ，求 $CD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）

（4）如图⑤， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $P$ 为 $AB$ 的中点，若点 $E$ 满足 $AE = \frac{1}{3} AC$ ， $CE = CA$ ，点 $Q$ 为 $AE$ 的中点，则线段 $PQ$ 与 $AC$ 的数量关系是　　．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 的图象与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点，其中点 $A$ 的坐标为 $(0, 8)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 4, 0)$ ．

（1）求该二次函数的表达式及点 $C$ 的坐标；

（2）点 $D$ 的坐标为 $(0, 4)$ ，点 $F$ 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 $CD$ 、 $CF$ ，以 $CD$ 、 $CF$ 为邻边作平行四边形 $CDEF$ ，设平行四边形 $CDEF$ 的面积为 $S$ ．

①求 $S$ 的最大值；

②在点 $F$ 的运动过程中，当点 $E$ 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 $S$ 的值．