正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且-优题课

正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF="FM"
（2）当AE=1时，求EF的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质相似多边形的性质

知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用 $C$ 表示）开展社会实践活动，车到达 $A$ 地后，发现 $C$ 地恰好在 $A$ 地的正北方向，且距离 $A$ 地13千米，导航显示车辆应沿北偏东 $60 °$ 方向行驶至 $B$ 地，再沿北偏西 $37 °$ 方向行驶一段距离才能到达 $C$ 地，求 $B$ 、 $C$ 两地的距离．（参考数据： $\sin 53 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\cos 53 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3})$

在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系， $ΔABC$ 的顶点都在格点上，请解答下列问题：

（1）作出 $ΔABC$ 向左平移 4 个单位长度后得到的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

（2）作出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 对称的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $C_{2}$ 的坐标；

（3）已知 $ΔABC$ 关于直线 $l$ 对称的△ $A_{3} B_{3} C_{3}$ 的顶点 $A_{3}$ 的坐标为 $(- 4, - 2)$ ，请直接写出直线 $l$ 的函数解析式．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - (2 a - \frac{3}{4}) x + 3$ 的图象经过点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．在 $x$ 轴上有一动点 $C (m$ ， $0) (0 < m < 4)$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $AB$ 于点 $E$ ，交该二次函数图象于点 $D$ ．

（1）求 $a$ 的值和直线 $AB$ 的解析式；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，设 $ΔACE$ ， $ΔDEF$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 4 S_{2}$ ，求 $m$ 的值；

（3）点 $H$ 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 $G$ 是线段 $AB$ 上的动点，当四边形 $DEGH$ 是平行四边形，且 $▱ DEGH$ 周长取最大值时，求点 $G$ 的坐标．

如图，已知 $AB$ ， $CD$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ， $⊙ O$ 的弦 $DE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，且 $DF = EF$ ．

（1）求证： $C O^{2} = OF \cdot OP$ ；

（2）连接 $EB$ 交 $CD$ 于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GH ⊥ AB$ 于点 $H$ ，若 $PC = 4 \sqrt{2}$ ， $PB = 4$ ，求 $GH$ 的长．

一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A (- 2, 12)$ ， $B (8, - 3)$ ．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象相交于点 $C (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $D (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，且 $CD = CE$ ，求 $m$ 的值．

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