如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB-优题课

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AB$ 、 $BC$ 上 $(AE < BE)$ ，且 $∠ EOF = 90 °$ ， $OE$ 、 $DA$ 的延长线交于点 $M$ ， $OF$ 、 $AB$ 的延长线交于点 $N$ ，连接 $MN$ ．

（1）求证： $OM = ON$ ．

（2）若正方形 $ABCD$ 的边长为4， $E$ 为 $OM$ 的中点，求 $MN$ 的长．

某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向 $A$ 区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）

（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为　　；

（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．

为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取七年级部分学生进行调查，从 $A$ ：文学鉴赏， $B$ ：科学探究， $C$ ：文史天地， $D$ ：趣味数学四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为　　人，扇形统计图中 $A$ 部分的圆心角是　　度．

（2）请补全条形统计图．

（3）根据本次调查，该校七年级840名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？

如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 $BC$ 与地面保持垂直，吊臂 $AB$ 与水平线的夹角为 $64 °$ ，吊臂底部 $A$ 距地面 $1.5 m$ ．（计算结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据 $\sin 64 ° \approx 0.90$ ， $\cos 64 ° \approx 0.44$ ， $\tan 64 ° \approx 2.05)$

（1）当吊臂底部 $A$ 与货物的水平距离 $AC$ 为 $5 m$ 时，吊臂 $AB$ 的长为　　 $m$ ．

（2）如果该吊车吊臂的最大长度 $AD$ 为 $20 m$ ，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

如图，已知抛物线经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 2)$ 三点，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，设点 $P$ 的坐标为 $(m, 0)$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交抛物线于点 $Q$ ，交直线 $BD$ 于点 $M$ ．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点 $F (0, \frac{1}{2})$ ，当点 $P$ 在 $x$ 轴上运动时，试求 $m$ 为何值时，四边形 $DMQF$ 是平行四边形？

（3）点 $P$ 在线段 $AB$ 运动过程中，是否存在点 $Q$ ，使得以点 $B$ 、 $Q$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $ΔBOD$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．