某市街心有一片绿岛（△ABC），请根据图中所示的数据（单位：-优题课

某市街心有一片绿岛（△ABC），请根据图中所示的数据（单位：m），求出AB的长和△ABC的面积﹒

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $B$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，且 $OA = OC = 4 OB$ ，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 图象经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点．

（1）求 $A$ ， $C$ 两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点 $P$ 是直线 $AC$ 下方的抛物线上的一个动点，作 $PD ⊥ AC$ 于点 $D$ ，当 $PD$ 的值最大时，求此时点 $P$ 的坐标及 $PD$ 的最大值．

如图， $BD$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $BC$ 与 $OA$ 相交于点 $E$ ， $AF$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，交 $DB$ 的延长线于点 $F$ ， $∠ F = 30 °$ ， $∠ BAC = 120 °$ ， $BC = 8$ ．

（1）求 $∠ ADB$ 的度数；

（2）求 $AC$ 的长度．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $BC$ ， $AD$ 边上的点，且 $AE = CF$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）当 $AC ⊥ EF$ 时，四边形 $AECF$ 是菱形吗？请说明理由．

2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．

（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；

（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？

如图，在 $A$ 处的正东方向有一港口 $B$ ．某巡逻艇从 $A$ 处沿着北偏东 $60 °$ 方向巡逻，到达 $C$ 处时接到命令，立刻在 $C$ 处沿东南方向以20海里 $/$ 小时的速度行驶3小时到达港口 $B$ ．求 $A$ ， $B$ 间的距离． $(\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ，结果保留一位小数）．

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