化简：-优题课

某市为了创建绿色生态城市，在城东建了"东州湖"景区，小明和小亮想测量"东州湖"东西两端 $A$ 、 $B$ 间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点 $B$ 的一点 $C$ ，并测得 $BC = 350$ 米，点 $A$ 位于点 $C$ 的北偏西 $73 °$ 方向，点 $B$ 位于点 $C$ 的北偏东 $45 °$ 方向．

请你根据以上提供的信息，计算"东州湖"东西两端之间 $AB$ 的长．（结果精确到1米）

（参考数据： $\sin 73 ° \approx 0.9563$ ， $\cos 73 \approx 0.2924$ ， $\tan 73 ° \approx 3.2709$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ． $)$

如图，在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $AD$ 上一点，延长 $AB$ 至点 $F$ ，使 $BF = AE$ ，连接 $BE$ 、 $CF$ ．

求证： $BE = CF$ ．

2016年4月23日是我国第一个"全民阅读日"．某校开展了"建设书香校园，捐赠有益图书"活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．

请你根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；

（2）求八年级5班平均每人捐赠了多少本书？

（3）若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书？

如图，已知锐角 $ΔABC$ ，点 $D$ 是 $AB$ 边上的一定点，请用尺规在 $AC$ 边上求作一点 $E$ ，使 $ΔADE$ 与 $ΔABC$ 相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法． $)$

特例感知

（1）如图1，对于抛物线 $y_{1} = - x^{2} - x + 1$ ， $y_{2} = - x^{2} - 2 x + 1$ ， $y_{3} = - x^{2} - 3 x + 1$ ，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 都经过点 $C (0, 1)$ ；

②抛物线 $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的对称轴由抛物线 $y_{1}$ 的对称轴依次向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位得到；

③抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 与直线 $y = 1$ 的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足 $y_{n} = - x^{2} - nx + 1 (n$ 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots$ ， $P_{n}$ ，用含 $n$ 的代数式表示顶点 $P_{n}$ 的坐标，并写出该顶点纵坐标 $y$ 与横坐标 $x$ 之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3}$ ， $\dots$ ， $C_{n}$ ，其横坐标分别为 $- k - 1$ ， $- k - 2$ ， $- k - 3$ ， $\dots$ ， $- k - n (k$ 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线 $y = 1$ 分别交“系列平移抛物线”于点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{n}$ ，连接 $C_{n} A_{n}$ ， $C_{n - 1} A_{n - 1}$ ，判断 $C_{n} A_{n}$ ， $C_{n - 1} A_{n - 1}$ 是否平行？并说明理由．