化简：-优题课

下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．

小明：如图1， $(1)$ 分别在射线OA，OB上截取 $OC = OD$ ， $OE = OF ($ 点C，E不重合 $)$ ； $(2)$ 分别作线段CE，DF的垂直平分线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，交点为P，垂足分别为点G，H； $(3)$ 作射线OP，射线即为 $∠ AOB$ 的平分线．

简述理由如下：

由作图知， $∠ PGO = ∠ PHO = 90 °$ ， $OG = OH$ ， $OP = OP$ ，所以 $Rt △ PGO$ ≌ $Rt △ PHO$ ，则 $∠ POG = ∠ POH$ ，即射线OP是 $∠ AOB$ 的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2， $(1)$ 分别在射线OA，OB上截取 $OC = OD$ ， $OE = OF ($ 点C，E不重合 $)$ ； $(2)$ 连接DE，CF，交点为P； $(3)$ 作射线 $OP .$ 射线OP即为 $∠ AOB$ 的平分线．

$\dots \dots$

任务：

$(1)$ 小明得出 $Rt △ PGO$ ≌ $Rt △ PHO$ 的依据是______ $($ 填序号 $)$ ．

$①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL$

$(2)$ 小军作图得到的射线0P是 $∠ AOB$ 的平分线吗？请判断并说明理由．

$(3)$ 如图3，已知 $∠ AOB = 60 °$ ，点E，F分别在射线OA，OB上，且 $OE = OF = \sqrt{3} + 1 .$ 点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且 $OC = OD$ ，连接DE，CF，交点为P，当 $∠ CPE = 30 °$ 时，直接写出线段OC的长．

如图，抛物线 $y = x^{2} + mx$ 与直线 $y = - x + b$ 相交于点 $A (2, 0)$ 和点 $B$ ．

（1）求 $m$ 和 $b$ 的值；

（2）求点 $B$ 的坐标，并结合图象写出不等式 $x^{2} + mx > - x + b$ 的解集；

（3）点 $M$ 是直线 $AB$ 上的一个动点，将点 $M$ 向左平移3个单位长度得到点 $N$ ，若线段 $MN$ 与抛物线只有一个公共点，直接写出点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围．

猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中 $A$ ， $B$ 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

价格

$A$ 款玩偶

$B$ 款玩偶

进货价（元 $/$ 个）

40

30

销售价（元 $/$ 个）

56

45

（1）第一次小李用1100元购进了 $A$ ， $B$ 两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．

（2）第二次小李进货时，网店规定 $A$ 款玩偶进货数量不得超过 $B$ 款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

（注：利润率 $= \frac{利润}{成本} \times 100 %)$

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” $AP$ ， $BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A$ ， $B$ 分别在射线 $OM$ ， $ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ ．当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图2．

请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证： $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长．

开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点 $A$ 与佛像 $BD$ 的底部 $D$ 在同一水平线上．已知佛像头部 $BC$ 为 $4 m$ ，在 $A$ 处测得佛像头顶部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，头底部 $C$ 的仰角为 $37.5 °$ ，求佛像 $BD$ 的高度（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 37.5 ° \approx 0.61$ ， $\cos 37.5 ° \approx 0.79$ ， $\tan 37.5 ° \approx 0.77)$ ．