解方程组：-优题课

如图，有四张背面完全相同的纸牌 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀．

（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；

（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A (3, 0)$ ， $D (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，且 $OB = OD$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接 $BE$ ， $AB$ ，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$ ，使 $∠ QBA = ∠ BEM$ ，求出点 $Q$ 的坐标；

（3）如图2，过点 $C$ 作 $CF / / x$ 轴，交抛物线于点 $F$ ，连接 $BF$ ，点 $G$ 是 $x$ 轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$ ，使以点 $B$ ， $F$ ， $G$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $ΔABC$ 中， $∠ BAC$ 为钝角， $∠ B = 45 °$ ，点 $P$ 是边 $BC$ 延长线上一点，以点 $C$ 为顶点， $CP$ 为边，在射线 $BP$ 下方作 $∠ PCF = ∠ B$ ．

（1）在射线 $CF$ 上取点 $E$ ，连接 $AE$ 交线段 $BC$ 于点 $D$ ．

①如图1，若 $AD = DE$ ，请直接写出线段 $A$ 与 $CE$ 的数量关系和位置关系；

②如图2，若 $AD = \sqrt{2} DE$ ，判断线段 $AB$ 与 $CE$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图3，反向延长射线 $CF$ ，交射线 $BA$ 于点 $C'$ ，将 $∠ PCF$ 沿 $CC'$ 方向平移，使顶点 $C$ 落在点 $C'$ 处，记平移后的 $∠ PCF$ 为 $∠ P' C' F'$ ，将 $∠ P' C' F'$ 绕点 $C'$ 顺时针旋转角 $α (0 ° < α < 45 °)$ ， $C' F'$ 交线段 $BC$ 于点 $M$ ， $C' P'$ 交射线 $BP$ 于点 $N$ ，请直接写出线段 $BM$ ， $MN$ 与 $CN$ 之间的数量关系．

铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第 $x$ 天 $(1 ⩽ x ⩽ 15$ 且 $x$ 为整数）时每盒成本为 $p$ 元，已知 $p$ 与 $x$ 之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为 $y$ 盒， $y$ 与 $x$ 之间的关系如下表所示：

第 $x$ 天	$1 ⩽ x ⩽ 6$	$6 < x ⩽ 15$
每天的销售量 $y /$ 盒	10	$x + 6$

（1）求 $p$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）若每天的销售利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？

（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．

如图， $AB$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是半圆上一点，连接 $OC$ ， $BC$ ，以点 $C$ 为顶点， $CB$ 为边作 $∠ BCF = \frac{1}{2} ∠ BOC$ ，延长 $AB$ 交 $CF$ 于点 $D$ ．

（1）求证：直线 $CF$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）若 $BD = 5$ ， $CD = 5 \sqrt{3}$ ，求 $\hat{BC}$ 的长．