已知函数在处取得极值，且(1)求函数的解析式；(2)若在区间-优题课

如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 作平面与侧棱 $O A, O B, O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ 。

（1）求证： $B_{1} C_{1} ⊥$ 平面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小。

数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{n}$ 为正整数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 3, b_{1} = 1$ ，数列 ${b_{a_{n}}}$ 是公比为64的等比数列， $b_{2} S_{2} = 64$ 。
（1）求 $a_{n}, b_{n}$ ；

（2）求证 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ .

某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6. 实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令 $ξ_{i} (i = 1, 2)$ 表示方案 $i$ 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。
（1）写出 $ξ_{1}, ξ_{2}$ 的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？

已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = λ, a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_{n} + n - 4, b_{n} = (- 1)^{n} (a_{n} - 3 n + 21)$ 其中 $λ$ 为实数， $n$ 为正整数。
（Ⅰ）对任意实数 $λ$ ，证明数列 ${a_{n}}$ 不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列 ${b_{n}}$ 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设 $0 < a < b$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。是否存在实数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $a < S_{n} < b$ ?若存在，求 $λ$ 的取值范围；若不存在，说明理由。

水库的蓄水量随时间而变化，现用 $t$ 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
$V (t)$ = $\{\begin{cases} (- t^{2} + 14 t - 40) e^{\frac{1}{t}} + 50, 0 < t \leq 10 \\ 4 (t - 10) (3 t - 41) + 50, 10 < t \leq 12 \end{cases}$ 。
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期，以 $i - 1 < t$ , $t$ 表示第1月份（ $i$ =1,2,…,12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 $e$ =2.7计算）