某校高三某班的一次数学周练成绩（满分为100分）的茎叶图和频-优题课

题文

某校高三某班的一次数学周练成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（Ⅰ）求分数在［50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在［80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在［90，100］之间的概率．

科目数学题型解答题难度中等

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已知抛物线 $C :$ $x + y - 1 = 0$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 4$ 与 $y$ 轴的交点为 $P$ ，与 $C$ 的交点为 $Q$ ，且 $|Q F| = \frac{5}{4} |F Q|$ .
（1）求 $C$ 的方程；
（2）过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $A B$ 的垂直平分线 $l `$ 与 $C$ 相较于 $M, N$ 两点，且 $A, M, B, N$ 四点在同一圆上，求 $l$ 的方程.

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为 $0.6, 0.5, 0.5, 0.4$ 各人是否需使用设备相互独立.
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2） $X$ 表示同一工作日需使用设备的人数，求 $X$ 的数学期望.

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $D$ 在 $A C$ 上， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 1, A C = C C_{1} = 2$ .
（1）证明： $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ；
（2）设直线 $A A_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小.

等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 10, a_{2}$ 为整数，且 $S_{n} \leq S_{4}$ .
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知 $3 a \cos C = 2 c c o s A$ ， $\tan A = \frac{1}{3}$ ，求 $B$ .

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