如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE-优题课

如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在原点的左侧，点 $B$ 在原点的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $OB = OC = 3$ ．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接 $BC$ ，点 $D$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的点，连接 $OD$ ， $CD$ ． $OD$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，当 $S_{ΔCOF} : S_{ΔCDF} = 3 : 2$ 时，求点 $D$ 的坐标．

（3）如图2，点 $E$ 的坐标为 $(0, - \frac{3}{2})$ ，点 $P$ 是抛物线上的点，连接 $EB$ ， $PB$ ， $PE$ 形成的 $ΔPBE$ 中，是否存在点 $P$ ，使 $∠ PBE$ 或 $∠ PEB$ 等于 $2 ∠ OBE$ ？若存在，请直接写出符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

菱形 $ABCD$ 中、 $∠ BAD = 120 °$ ，点 $O$ 为射线 $CA$ 上的动点，作射线 $OM$ 与直线 $BC$ 相交于点 $E$ ，将射线 $OM$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $60 °$ ，得到射线 $ON$ ，射线 $ON$ 与直线 $CD$ 相交于点 $F$ ．

（1）如图①，点 $O$ 与点 $A$ 重合时，点 $E$ ， $F$ 分别在线段 $BC$ ， $CD$ 上，请直接写出 $CE$ ， $CF$ ， $CA$ 三条段段之间的数量关系；

（2）如图②，点 $O$ 在 $CA$ 的延长线上，且 $OA = \frac{1}{3} AC$ ， $E$ ， $F$ 分别在线段 $BC$ 的延长线和线段 $CD$ 的延长线上，请写出 $CE$ ， $CF$ ， $CA$ 三条线段之间的数量关系，并说明理由；

（3）点 $O$ 在线段 $AC$ 上，若 $AB = 6$ ， $BO = 2 \sqrt{7}$ ，当 $CF = 1$ 时，请直接写出 $BE$ 的长．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $O$ ， $D$ 分别为 $AB$ ， $BC$ 的中点，连接 $OD$ ，作 $⊙ O$ 与 $AC$ 相切于点 $E$ ，在 $AC$ 边上取一点 $F$ ，使 $DF = DO$ ，连接 $DF$ ．

（1）判断直线 $DF$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）当 $∠ A = 30 °$ ， $CF = \sqrt{2}$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价 $y$ （元 $/$ 件）与批发数量 $x$ （件 $) (x$ 为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间所满足的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（2）设服装厂所获利润为 $w$ （元 $)$ ，若 $10 ⩽ x ⩽ 50 (x$ 为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？

如图为某景区五个景点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的平面示意图， $B$ ， $A$ 在 $C$ 的正东方向， $D$ 在 $C$ 的正北方向， $D$ ， $E$ 在 $B$ 的北偏西 $30 °$ 方向上， $E$ 在 $A$ 的西北方向上， $C$ ， $D$ 相距 $1000 \sqrt{3} m$ ， $E$ 在 $BD$ 的中点处．

（1）求景点 $B$ ， $E$ 之间的距离；

（2）求景点 $B$ ， $A$ 之间的距离．（结果保留根号）