如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的-优题课

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由；
（2）(3分)求∠BOP的度数；
（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

性质探究

如图（1），在等腰三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 120 °$ ，则底边 $AB$ 与腰 $AC$ 的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为 $120 °$ 的等腰三角形的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，则它的面积为　　；

（2）如图（2），在四边形 $EFGH$ 中， $EF = EG = EH$ ，在边 $FG$ ， $GH$ 上分别取中点 $M$ ， $N$ ，连接 $MN$ ．若 $∠ FGH = 120 °$ ， $EF = 20$ ，求线段 $MN$ 的长．

类比拓展

顶角为 $2 α$ 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　．（用含 $α$ 的式子表示）

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $O$ 在 $AB$ 上，以点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆恰好经过点 $D$ ，分别交 $AC$ 、 $AB$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）试判断直线 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = 2 \sqrt{3}$ ， $AB = 6$ ，求阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．

为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行30分钟后到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $45 °$ 方向上．

（1）求 $∠ APB$ 的度数；

（2）已知在灯塔 $P$ 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

如图所示，一次函数 $y = mx + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限的点 $A (- 2, a)$ 和点 $B (b, - 1)$ ，过 $A$ 点作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ， $ΔAOC$ 的面积为4．

（1）分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）结合图象直接写出 $mx + n > \frac{k}{x}$ 中 $x$ 的取值范围；

（3）在 $y$ 轴上取点 $P$ ，使 $PB - PA$ 取得最大值时，求出点 $P$ 的坐标．

为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为　　人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　　度；

（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．