已知：如图，AD为△ABC的内角平分线，且ADAB，CM⊥A-优题课

某校要求八年级同学在课外活动中，必须在五项球类（篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球）活动中任选一项（只能选一项）参加训练，为了了解八年级学生参加球类活动的整体情况，现以八年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：

八年级2班参加球类活动人数统计表
项目	篮球	足球	乒乓球	排球	羽毛球
人数	$a$	6	5	7	6

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）该校八年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约　　人；

（3）该班参加乒乓球活动的5位同学中，有3位男同学 $(A$ ， $B$ ， $C)$ 和2位女同学 $(D, E)$ ，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．

如图，已知 $∠ CAB = ∠ DBA$ ， $∠ CBD = ∠ DAC$ ．

求证： $BC = AD$ ．

如图1， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $E$ 是 $AB$ 延长线上一点， $EC$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $OP ⊥ AO$ 交 $AC$ 于点 $P$ ，交 $EC$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $ΔPCD$ 是等腰三角形；

（2） $CG ⊥ AB$ 于 $H$ 点，交 $⊙ O$ 于 $G$ 点，过 $B$ 点作 $BF / / EC$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，交 $CG$ 于 $Q$ 点，连接 $AF$ ，如图2，若 $\sin E = \frac{3}{5}$ ， $CQ = 5$ ，求 $AF$ 的值．

已知直线 $l_{1} : y = x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $C (1, a)$ ．

（1）试确定双曲线的函数表达式；

（2）将 $l_{1}$ 沿 $y$ 轴翻折后，得到 $l_{2}$ ，画出 $l_{2}$ 的图象，并求出 $l_{2}$ 的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点 $P$ 是线段 $AC$ 上点（不包括端点），过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，交双曲线于点 $N$ ，求 $S_{ΔAMN}$ 的取值范围．

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AC = 20$ ， $AB = 10$ ， $P$ 是边 $AC$ 上一点（不包括端点 $A$ 、 $C)$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF / / AC$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ．设 $PC = x$ ，

$PE = y$ ．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）是否存在点 $P$ 使 $ΔPEF$ 是 $Rt$ △？若存在，求此时的 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．