有足够多的长方形和正方形卡片如下图(1)如果选取1号、2号、-优题课

某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜 $1$ 元，且用 $110 元$ 购买的甲种类型的数量与用 $120$ 元购买的乙种类型的数量一样．

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共 $100$ 件，且购买的乙的数量不超过甲的 $3$ 倍，则购买的最低费用是多少．

某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．

（1）本次抽查总人数为＿＿＿＿＿＿，“合格”人数的百分比为＿＿＿＿＿＿；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为＿＿＿＿＿＿；

（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为＿＿＿＿＿＿．

化简求值： $（ \frac{2 x - 2}{x} - 1 ）$ $\div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - x}$ ，其中 $x ＝ 4$ ．

$（ π ﹣ 1 ） 0 - \sqrt{9} + \sqrt{2} \cos 45 ° +$ $（ \frac{1}{5} ）^{﹣ 1}$ ．

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E是BC的中点， $A E ⊥ E P$ ， $E P$ 与正方形的外角 $∠ D C G$ 的平分线交于 $P$ 点．试猜想 $A E$ 与 $E P$ 的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $A B$ 的中点 $F$ ，连接 $E F$ 可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E ， B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P ＝ 90 °$ ，连接 $C P$ ，可以求出 $∠ D C P$ 的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E ， B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P ＝ 90 °$ ，连接 $D P$ ．知道正方形的边长时，可以求出 $△ A D P$ 周长的最小值．当 $A B ＝ 4$ 时，请你求出 $△ A D P$ 周长的最小值．