为了加快经济的发展，某省选择两城市作为龙头带动周边城市的发展-优题课

为了加快经济的发展，某省选择两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在两城市的周边修建城际轻轨，假设为一个单位距离，两城市相距个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为，使轻轨上的点到两城市的距离之和为个单位距离，

（1）建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线的方程；
（2）若要在曲线上建一个加油站与一个收费站，使三点在一条直线上，并且个单位距离，求之间的距离有多少个单位距离？
（3）在两城市之间有一条与所在直线成的笔直公路，直线与曲线交于两点，求四边形的面积的最大值.

科目数学题型解答题难度中等

如图，设 $P$ 是抛物线 $C_{1}$ : $x^{2} = y$ 上动点。圆 $C_{2}$ : $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ 的圆心为点 $M$ ，过点 $P$ 做圆 $C_{2}$ 的两条切线，交直线 $l$ ： $y = - 3$ 于 $A, B$ 两点。（Ⅰ）求 $C_{2}$ 的圆心 $M$ 到抛物线 $C_{1}$ 准线的距离。
（Ⅱ）是否存在点 $P$ ，使线段 $A B$ 被抛物线 $C_{1}$ 在点 $P$ 处得切线平分，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

设函数 $f (x) = a^{2} \ln x - x^{2} + a x (a > 0)$

（Ⅰ）求 $f (x)$ 单调区间;

（Ⅱ）求所有实数 $a$ ，使 $e - 1 \leq f (x) \leq e^{2}$ 对 $x \in [1, e]$ 恒成立.注： $e$ 为自然对数的底数

如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ，垂足 $O$ 落在线段 $A D$ 上.
（Ⅰ）证明： $A P$ $⊥$ $B C$ ；

（Ⅱ）已知 $B C = 8$ ， $P O = 4$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ .求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1}$ 为 $a$ ( $a \in R$ ),且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{4}}$ 成等比数列

（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

（Ⅱ）对 $n \in N^{+}$ ，试比较 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{2^{2}}} + . . . + \frac{1}{a_{2^{n}}}$ 与 $\frac{1}{a_{1}}$ 的大小.

已知函数 $f (x) = A \sin (\frac{π}{3} x + φ), x \in R, A > 0, 0 < φ < \frac{π}{2} . y = f (x)$ 的部分图像，如图所示， $P, Q$ 分别为该图像的最高点和最低点，点 $P$ 的坐标为 $(1, A)$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及 $φ$ 的值；

（Ⅱ）若点 $R$ 的坐标为 $(1, 0)$ ， $∠ P R Q = \frac{2 π}{3}, 求 A 的值 .$

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