解方程；-优题课

如图，在 $ΔAOB$ 中， $∠ AOB$ 为直角， $OA = 6$ ， $OB = 8$ ，半径为2的动圆圆心 $Q$ 从点 $O$ 出发，沿着 $OA$ 方向以1个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动，同时动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿着 $AB$ 方向也以1个单位长度 $/$ 秒的速度匀速运动，设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t ⩽ 5)$ 以 $P$ 为圆心， $PA$ 长为半径的 $⊙ P$ 与 $AB$ 、 $OA$ 的另一个交点分别为 $C$ 、 $D$ ，连接 $CD$ 、 $QC$ ．

（1）当 $t$ 为何值时，点 $Q$ 与点 $D$ 重合？

（2）当 $⊙ Q$ 经过点 $A$ 时，求 $⊙ P$ 被 $OB$ 截得的弦长．

（3）若 $⊙ P$ 与线段 $QC$ 只有一个公共点，求 $t$ 的取值范围．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $F$ 在边 $BC$ 上，且 $AF = AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AF$ ，垂足为点 $E$

（1）求证： $DE = AB$ ；

（2）以 $A$ 为圆心， $AB$ 长为半径作圆弧交 $AF$ 于点 $G$ ，若 $BF = FC = 1$ ，求扇形 $ABG$ 的面积．（结果保留 $π)$

某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价 $m$ 元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价 $n$ 元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为 $x$ 吨，应交水费为 $y$ 元，请写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $ΔABO$ 的边 $AB$ 垂直与 $x$ 轴，垂足为点 $B$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过 $AO$ 的中点 $C$ ，且与 $AB$ 相交于点 $D$ ， $OB = 4$ ， $AD = 3$ ，

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）求 $\cos ∠ OAB$ 的值；

（3）求经过 $C$ 、 $D$ 两点的一次函数解析式．

中秋佳节我国有赏月和吃月饼的传统，某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱月饼的情况，随机抽取了60名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图．

（注 $:$ 参与问卷调查的每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）

请根据统计图完成下列问题：

（1）扇形统计图中，“很喜欢”的部分所对应的圆心角为　　度；

条形统计图中，喜欢“豆沙”月饼的学生有　　人；

（2）若该校共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”月饼的共有　　人．

（3）甲同学最爱吃云腿月饼，乙同学最爱吃豆沙月饼，现有重量、包装完全一样的云腿、豆沙、莲蓉、蛋黄四种月饼各一个，让甲、乙每人各选一个，请用画树状图法或列表法，求出甲、乙两人中有且只有一人选中自己最爱吃的月饼的概率．