对于边长为2的正△ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 2) x + (m^{2} - 2 m) = 0$ ．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$ ，求 $m$ 的值．

“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：

成绩 $/$ 分	7	8	9	10
人数 $/$ 人	2	5	4	4

（1）这组数据的众数是　　，中位数是　　．

（2）已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．

如图，已知 $AB = AD$ ， $AC = AE$ ， $∠ BAE = ∠ DAC$ ．

求证： $∠ C = ∠ E$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 过点 $A (\sqrt{3}$ ， $- 3)$ 和点 $B (3 \sqrt{3}$ ， $0)$ ．过点 $A$ 作直线 $AC / / x$ 轴，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点 $P$ ，过点 $P$ 作直线 $AC$ 的垂线，垂足为 $D$ ．连接 $OA$ ，使得以 $A$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $ΔAOC$ 相似，求出对应点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $S_{ΔAOC} = \frac{1}{3} S_{ΔAOQ}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $ΔABC$ 的顶点坐标分别为 $A (3, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (- 3, 0)$ ．动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发， $M$ 沿 $A \to C$ ， $N$ 沿折线 $A \to B \to C$ ，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 $C$ 时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 $t$ 秒．连接 $MN$ ．

（1）求直线 $BC$ 的解析式；

（2）移动过程中，将 $ΔAMN$ 沿直线 $MN$ 翻折，点 $A$ 恰好落在 $BC$ 边上点 $D$ 处，求此时 $t$ 值及点 $D$ 的坐标；

（3）当点 $M$ ， $N$ 移动时，记 $ΔABC$ 在直线 $MN$ 右侧部分的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于时间 $t$ 的函数关系式．