已知、为实数，求-优题课

如图1，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，顶点为 $D (0, 4)$ ， $AB = 4 \sqrt{2}$ ，设点 $F (m, 0)$ 是 $x$ 轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$ 绕点 $F$ 旋转 $180 °$ ，得到新的抛物线 $C'$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的函数表达式；

（2）若抛物线 $C'$ 与抛物线 $C$ 在 $y$ 轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$ 的取值范围．

（3）如图2， $P$ 是第一象限内抛物线 $C$ 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$ 在抛物线 $C'$ 上的对应点 $P'$ ，设 $M$ 是 $C$ 上的动点， $N$ 是 $C'$ 上的动点，试探究四边形 $PMP' N$ 能否成为正方形？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

问题背景：如图1，等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，则 $D$ 为 $BC$ 的中点， $∠ BAD = \frac{1}{2} ∠ BAC = 60 °$ ，于是 $\frac{BC}{AB} = \frac{2 BD}{AB} = \sqrt{3}$ ；

迁移应用：如图2， $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 都是等腰三角形， $∠ BAC = ∠ DAE = 120 °$ ， $D$ ， $E$ ， $C$ 三点在同一条直线上，连接 $BD$ ．

①求证： $ΔADB ≅ ΔAEC$ ；

②请直接写出线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 120 °$ ，在 $∠ ABC$ 内作射线 $BM$ ，作点 $C$ 关于 $BM$ 的对称点 $E$ ，连接 $AE$ 并延长交 $BM$ 于点 $F$ ，连接 $CE$ ， $CF$ ．

①证明 $ΔCEF$ 是等边三角形；

②若 $AE = 5$ ， $CE = 2$ ，求 $BF$ 的长．

随着地铁和共享单车的发展，“地铁 $+$ 单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 $x$ （单位：千米），乘坐地铁的时间 $y_{1}$ （单位：分钟）是关于 $x$ 的一次函数，其关系如下表：

地铁站	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
$x$ （千米）	8	9	10	11.5	13
$y_{1}$ （分钟）	18	20	22	25	28

（1）求 $y_{1}$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 $x$ 的影响，其关系可以用 $y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} - 11 x + 78$ 来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径作圆 $O$ ，分别交 $BC$ 于点 $D$ ，交 $CA$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$ ，连接 $DE$ 交线段 $OA$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $DH$ 是圆 $O$ 的切线；

（2）若 $A$ 为 $EH$ 的中点，求 $\frac{EF}{FD}$ 的值；

（3）若 $EA = EF = 1$ ，求圆 $O$ 的半径．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知正比例函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (a, - 2)$ ， $B$ 两点．

（1）求反比例函数的表达式和点 $B$ 的坐标；

（2） $P$ 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $AB$ 于点 $C$ ，连接 $PO$ ，若 $ΔPOC$ 的面积为3，求点 $P$ 的坐标．