如图所示，点C、D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点-优题课

如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x + c$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $AB$ ，点 $C (6, \frac{15}{2})$ 在抛物线上，直线 $AC$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

（1）求 $c$ 的值及直线 $AC$ 的函数表达式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $Q$ 在 $y$ 轴正半轴上，连接 $PQ$ 与直线 $AC$ 交于点 $M$ ，连接 $MO$ 并延长交 $AB$ 于点 $N$ ，若 $M$ 为 $PQ$ 的中点．

①求证： $ΔAPM ∽ ΔAON$ ；

②设点 $M$ 的横坐标为 $m$ ，求 $AN$ 的长（用含 $m$ 的代数式表示）．

在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形 $ABCD$ 的四边 $BA$ 、 $CB$ 、 $DC$ 、 $AD$ 分别延长至 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ ，使得 $AE = CG$ ， $BF = DH$ ，连接 $EF$ ， $FG$ ， $GH$ ， $HE$ ．

（1）求证：四边形 $EFGH$ 为平行四边形；

（2）若矩形 $ABCD$ 是边长为1的正方形，且 $∠ FEB = 45 °$ ， $\tan ∠ AEH = 2$ ，求 $AE$ 的长．

2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．

（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？

（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？

如图，正比例函数 $y_{1} = - 3 x$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点．点 $C$ 在 $x$ 轴负半轴上， $AC = AO$ ， $ΔACO$ 的面积为12．

（1）求 $k$ 的值；

（2）根据图象，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围．

大黄鱼是中国特有的地方性鱼类，有“国鱼”之称，由于过去滥捕等多种因素，大黄鱼资源已基本枯竭，目前，我市已培育出十余种大黄鱼品种，某鱼苗人工养殖基地对其中的四个品种“宁港”、“御龙”、“甬岱”、“象山港”共300尾鱼苗进行成活实验，从中选出成活率最高的品种进行推广，通过实验得知“甬岱”品种鱼苗成活率为 $80 %$ ，并把实验数据绘制成下列两幅统计图（部分信息未给出） $:$

（1）求实验中“宁港”品种鱼苗的数量；

（2）求实验中“甬岱”品种鱼苗的成活数，并补全条形统计图；

（3）你认为应选哪一品种进行推广？请说明理由．