如图，在Rt△ABC中，∠B90°，以OB为半径的⊙O的圆心-优题课

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以OB为半径的⊙O的圆心在边AB上，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=8，CD=12

(1)求BC及AB的长 (2)求证DE//OC
(3)求半径OB及线段AE的长 (4)求OC的长

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，点 $E$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上的动点， $∠ AEF = 90 °$ ，且 $EF = AE$ ， $FH ⊥ BH$ ．

（1）求证： $BE = CH$ ；

（2）若 $AB = 3$ ， $BE = x$ ，用 $x$ 表示 $DF$ 的长．

为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．

（1）这次预赛中，二班成绩在 $B$ 等及以上的人数是多少？

（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；

（3）已知一班成绩 $A$ 等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩 $A$ 等的都是女生，年级要求从这两个班 $A$ 等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．

抛物线 $y = a x^{2} - 2 bx + b (a \neq 0)$ 与 $y$ 轴相交于点 $C (0, - 3)$ ，且抛物线的对称轴为 $x = 3$ ， $D$ 为对称轴与 $x$ 轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方且平行于 $x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $E$ 、 $F$ 两点，若 $ΔDEF$ 是等腰直角三角形，求 $ΔDEF$ 的面积；

（3）若 $P (3, t)$ 是对称轴上一定点， $Q$ 是抛物线上的动点，求 $PQ$ 的最小值（用含 $t$ 的代数式表示）．

如图， $PA$ 、 $PB$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $OP$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $BC / / OP$ ；

（2）若 $E$ 恰好是 $OD$ 的中点，且四边形 $OAPB$ 的面积是 $16 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin ∠ BAC = \frac{1}{3}$ ，且 $AD = 2 \sqrt{3}$ ，求切线 $PA$ 的长．

我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，回答以下问题：

（1）笼中鸡、兔各有多少只？

（2）若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过40只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？