已知:，化简再求值．-优题课

（1）如图，已知 $ΔABC$ ， $P$ 为边 $AB$ 上一点，请用尺规作图的方法在边 $AC$ 上求作一点 $E$ ，使 $AE + EP = AC$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在图中，如果 $AC = 6 cm$ ， $AP = 3 cm$ ，则 $ΔAPE$ 的周长是　　 $cm$ ．

如图，在平面直角坐标系中， $ΔAOB$ 的边 $OA$ 在 $x$ 轴上， $OA = AB$ ，且线段 $OA$ 的长是方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的根，过点 $B$ 作 $BE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ， $\tan ∠ BAE = \frac{4}{3}$ ，动点 $M$ 以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$ 出发，沿线段 $AB$ 向点 $B$ 运动，到达点 $B$ 停止．过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，以 $MD$ 为边作正方形 $MDCF$ ，点 $C$ 在线段 $OA$ 上，设正方形 $MDCF$ 与 $ΔAOB$ 重叠部分的面积为 $S$ ，点 $M$ 的运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

（3）当点 $F$ 落在线段 $OB$ 上时，坐标平面内是否存在一点 $P$ ，使以 $M$ 、 $A$ 、 $O$ 、 $P$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具 $m$ 件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

在等腰 $ΔADE$ 中， $AE = DE$ ， $ΔABC$ 是直角三角形， $∠ CAB = 90 °$ ， $∠ ABC = \frac{1}{2} ∠ AED$ ，连接 $CD$ 、 $BD$ ，点 $F$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EF$ ．

（1）当 $∠ EAD = 45 °$ ，点 $B$ 在边 $AE$ 上时，如图①所示，求证： $EF = \frac{1}{2} CD$ ；

（2）当 $∠ EAD = 45 °$ ，把 $ΔABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，顶点 $B$ 落在边 $AD$ 上时，如图②所示，当 $∠ EAD = 60 °$ ，点 $B$ 在边 $AE$ 上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $EF$ 和 $CD$ 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

已知 $A$ 、 $B$ 两地相距 $240 km$ ，一辆货车从 $A$ 前往 $B$ 地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从 $B$ 地前往 $A$ 地，到达 $A$ 地后（在 $A$ 地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距 $B$ 地的距离 $y (km)$ 与货车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）图中 $m$ 的值是　　；轿车的速度是　　 $km / h$ ；

（2）求货车从 $A$ 地前往 $B$ 地的过程中，货车距 $B$ 地的距离 $y (km)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系式；

（3）直接写出轿车从 $B$ 地到 $A$ 地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距 $12 km$ ？