化简：-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程： $x^{2} - 2 x - k - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求 $k$ 的取值范围；

（2）给 $k$ 取一个负整数值，解这个方程．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx - \frac{9}{2}$ 与 $x$ 轴交于 $A (1, 0)$ 、 $B (6, 0)$ 两点， $D$ 是 $y$ 轴上一点，连接 $DA$ ，延长 $DA$ 交抛物线于点 $E$ ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若 $E$ 点在第一象限，过点 $E$ 作 $EF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ， $ΔADO$ 与 $ΔAEF$ 的面积比为 $\frac{S_{ΔADO}}{S_{ΔAEF}} = \frac{1}{9}$ ，求出点 $E$ 的坐标；

（3）若 $D$ 是 $y$ 轴上的动点，过 $D$ 点作与 $x$ 轴平行的直线交抛物线于 $M$ 、 $N$ 两点，是否存在点 $D$ ，使 $D A^{2} = DM \cdot DN$ ？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $AB$ 是 $⊙ M$ 的直径， $BC$ 是 $⊙ M$ 的切线，切点为 $B$ ， $C$ 是 $BC$ 上（除 $B$ 点外）的任意一点，连接 $CM$ 交 $⊙ M$ 于点 $G$ ，过点 $C$ 作 $C ⊥ BC$ 交 $BG$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $AG$ 并延长交 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔABE ∽ ΔBCD$ ；

（2）若 $MB = BE = 1$ ，求 $CD$ 的长度．

我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆 $B$ 型电动自行车比每辆 $A$ 型电动自行车多500元．用5万元购进的 $A$ 型电动自行车与用6万元购进的 $B$ 型电动自行车数量一样．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号电动自行车的进货单价；

（2）若 $A$ 型电动自行车每辆售价为2800元， $B$ 型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进 $A$ 型电动自行车 $m$ 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 $y$ 元．写出 $y$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？

随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上 $D$ 点处测得瀑布顶端 $A$ 点的仰角是 $30 °$ ，测得瀑布底端 $B$ 点的俯角是 $10 °$ ， $AB$ 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 $CG = 27 m$ ， $GF = 17.6 m$ （注 $: C$ 、 $G$ 、 $F$ 三点在同一直线上， $CF ⊥ AB$ 于点 $F)$ ．斜坡 $CD = 20 m$ ，坡角 $∠ ECD = 40 °$ ．求瀑布 $AB$ 的高度．

（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18)$