有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计）。有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个全等的小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长。（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积；（2）请你判断上述方案是否是最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积。
如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，其中，，与交于点，是边上的点，且，已知，，． （1）求平面与平面所成锐二面角的正切； （2）已知是上一点，且平面，求的值．
已知等差数列满足、、成等比数列，数列的前项和（其中为正常数） （1）求的前项和； （2）已知，，求
设，其中，已知满足 （1）求函数的单调递增区间； （2）求不等式的解集。
各项为正的数列满足,， （1）取，求证：数列是等比数列，并求其公比； （2）取时令，记数列的前项和为，数列的前项之积为，求证：对任意正整数，为定值
函数， （1）若时，求的最大值； （2）设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为2，求的表达式．
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；
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底面
，底面
，
，
与
交于点
，
是
边上的点，且
，已知
，
，
．
与平面
所成锐二面角的正切；
是
上一点，且
平面
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的值．
满足
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成等比数列，数列
的前
项和
（其中
为正常数）
；
，
，求
，其中
，已知
满足
的解集。
满足
,
，
，求证：数列
是等比数列，并求其公比；
时令
，记数列
的前
项和为
，数列
，求证：对任意正整数
为定值
，
时，求
的最大值；
时，若对任意
，都有
恒成立，且
的最大值为2，求
的表达式．