-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $AD$ 上， $AE = AF$ ， $CE = CF$ ，求证： $CB = CD$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，过点 $A$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ． $P$ 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ l$ 于点 $Q$ ， $M$ 是直线 $l$ 上的一点，其纵坐标为 $- m + \frac{3}{2}$ ．以 $PQ$ ， $QM$ 为边作矩形 $PQMN$ ．

（1）求 $b$ 的值．

（2）当点 $Q$ 与点 $M$ 重合时，求 $m$ 的值．

（3）当矩形 $PQMN$ 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 $m$ 的值．

（4）当抛物线在矩形 $PQMN$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图， $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 4 cm$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2 cm / s$ 的速度沿 $AB$ 向点 $B$ 匀速运动，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ AB$ ，交折线 $AC - CB$ 于点 $Q$ ，以 $PQ$ 为边作等边三角形 $PQD$ ，使点 $A$ ， $D$ 在 $PQ$ 异侧．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s) (0 < x < 2)$ ， $ΔPQD$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $y (c m^{2})$ ．

（1） $AP$ 的长为　　 $cm$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（2）当点 $D$ 落在边 $BC$ 上时，求 $x$ 的值．

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

能够完全重合的平行四边形纸片 $ABCD$ 和 $AEFG$ 按图①方式摆放，其中 $AD = AG = 5$ ， $AB = 9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $AE$ ， $AB$ 上， $CD$ 与 $FG$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $AGHD$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $ABCD$ ，将平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $DG$ ， $CF$ ，如图③，若 $\sin ∠ BAD = \frac{4}{5}$ ，则四边形 $DCFG$ 的面积为　　．

某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为 $5 L$ ，在整个过程中，油箱里的油量 $y$ （单位： $L)$ 与时间 $x$ （单位： $\min)$ 之间的关系如图所示．

（1）机器每分钟加油量为　　 $L$ ，机器工作的过程中每分钟耗油量为　　 $L$ ．

（2）求机器工作时 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时 $x$ 的值．