一辆小车在光滑的水平面上以1m/s的速度向右运动，小车的质量-优题课

如图所示，在坐标系 $x o y$ 的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于 $x o y$ 面向里；第四象限内有沿 $y$ 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为 $E$ . 一质量为、带电量为的粒子自 $y$ 轴的 $P$ 点沿 $x$ 轴正方向射入第四象限，经 $x$ 轴上的 $Q$ 点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知 $O P = d ， O Q = 2 d$ ，不计粒子重力。

（1）求粒子过 $Q$ 点时速度的大小和方向。
（2）若磁感应强度的大小为一定值 $B_{0}$ ，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求 $B_{0}$ ；

（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过 $Q$ 点，且速度与第一次过 $Q$ 点时相同，求该粒子相邻两次经过 $Q$ 点所用的时间。

如图所示，一质量 $m = 0.4 k g$ 的小物块，以 $V_{0} = 2 m / s$ 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力 $F$ 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 $t = 2 s$ 的时间物块由 $A$ 点运动到 $B$ 点， $A$ 、 $B$ 之间的距离 $L = 10 m$ 。已知斜面倾角 $θ = 30^{o}$ ，物块与斜面之间的动摩擦因数 $u = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。重力加速度 $g$ 取 $10 m / s^{2}$ .

（1）求物块加速度的大小及到达 $B$ 点时速度的大小。

（2）拉力 $F$ 与斜面的夹角多大时，拉力 $F$ 最小？拉力 $F$ 最小值是多少？

如图（a）所示，在垂直于匀强磁场 $B$ 的平面内，半径为 $r$ 的金属圆盘绕过圆心 $O$ 的轴转动，圆心 $O$ 和边缘 $K$ 通过电刷与一个电路连接，电路中的 $P$ 是加上一定正向电压才能导通的电子元件。流过电流表的电流 $I$ 与圆盘角速度 $ω$ 的关系如图（b）所示，期中 $a b$ 段和 $b c$ 段均为直线，且 $a b$ 段过坐标原点。 $ω > 0$ 代表圆盘逆时针转动。已知： $R = 3.0 Ω$ ， $B = 1.0 T$ ， $r = 0.2 m$ 。忽略圆盘、电流表和导线的电阻。

（1）根据图（ $b$ ）写出 $a b$ 、 $b c$ 段对应 $I$ 与 $ω$ 的关系式；
（2）求出图（ $b$ ）中 $b$ 、 $c$ 两点对应的P两端的电压 $U_{P}$ 、 $U_{C}$ ；
（3）分别求出 $a b$ 、 $b c$ 段流过 $P$ 的电流 $I_{P}$ 与其两端电压 $U_{P}$ 的关系式.

如图所示，两块相同平板 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 置于光滑水平面上，质量均为 $m$ 。 $P_{2}$ 的右端固定一轻质弹簧，左端 $A$ 与弹簧的自由端 $B$ 相距 $L$ 。物体 $P$ 置于 $P_{1}$ 的最右端，质量为 $2 m$ 且可以看作质点。 $P_{1}$ 与 $P$ 以共同速度 $v_{0}$ 向右运动，与静止的 $P_{2}$ 发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 粘连在一起， $P$ 压缩弹簧后被弹回并停在A点（弹簧始终在弹性限度内）。 $P$ 与 $P_{2}$ 之间的动摩擦因数为 $μ$ ，求：

（1） $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 刚碰完时的共同速度 $v_{1}$ 和 $P$ 的最终速度 $v_{2}$ ；

（2）此过程中弹簧最大压缩量 $x$ 和相应的弹性势能 $E_{p}$ 。

如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于 $x O y$ 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 $B$ 。让质量为 $m$ ，电荷量为 $q (q > 0)$ 的粒子从坐标原点 $O$ 沿 $x O y$ 平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。

（1）若粒子以初速度 $v_{1}$ 沿 $y$ 轴正向入射，恰好能经过 $x$ 轴上的 $A (a, 0)$ 点，求 $v_{1}$ 的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小为 $v (v ＞ v_{1})$ ，为使该粒子能经过 $A (a, 0)$ 点，其入射角 $θ$ （粒子初速度与 $x$ 轴正向的夹角）有几个？并求出对应的 $\sin θ$ 值；
（3）如图乙，若在此空间再加入沿 $y$ 轴正向、大小为 $E$ 的匀强电场，一粒子从 $O$ 点以初速度 $v_{0}$ 沿 $y$ 轴正向发射。研究表明：粒子在 $x O y$ 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的 $x$ 分量 $v_{x}$ 与其所在位置的 $y$ 坐标成正比，比例系数与场强大小 $E$ 无关。求该粒子运动过程中的最大速度值 $v_{m}$ 。 $(q > 0)$