某中学的高中部在校区，初中部在校区，学校学生会计划在3月12-优题课

某中学的高中部在校区，初中部在校区，学校学生会计划在3月12日植树节当天安排部分学生到郊区公园参加植树活动.已知校区的每位高中学生往返车费是6元，每人每天可栽植5棵树；校区的每位初中学生往返车费是10元，每人每天可栽植3棵树.要求初高中均有学生参加，且参加活动的初中学生比参加活动的高中学生多4人，本次活动的往返车费总和不得超过210元.要使本次活动植树最多，初高中各有多少学生参加？最多植树多少棵？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图一，在射线 $DE$ 的一侧以 $AD$ 为一条边作矩形 $ABCD$ ， $AD = 5 \sqrt{3}$ ， $CD = 5$ ，点 $M$ 是线段 $AC$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连结 $BM$ ，过点 $M$ 作 $BM$ 的垂线交射线 $DE$ 于点 $N$ ，连接 $BN$ ．

（1）求 $∠ CAD$ 的大小；

（2）问题探究：动点 $M$ 在运动的过程中，

①是否能使 $ΔAMN$ 为等腰三角形，如果能，求出线段 $MC$ 的长度；如果不能，请说明理由．

② $∠ MBN$ 的大小是否改变？若不改变，请求出 $∠ MBN$ 的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点 $M$ 运动到 $AC$ 的中点时， $AM$ 与 $BN$ 的交点为 $F$ ， $MN$ 的中点为 $H$ ，求线段 $FH$ 的长度．

如图一，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, \sqrt{3})$ 三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2） $P (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $Q (4, y_{2})$ 两点均在该抛物线上，若 $y_{1} ⩾ y_{2}$ ，求 $P$ 点横坐标 $x_{1}$ 的取值范围；

（3）如图二，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于点 $E$ ，该抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $D$ ，连结 $CD$ 、 $CB$ ，点 $F$ 为线段 $CB$ 的中点，点 $M$ 、 $N$ 分别为直线 $CD$ 和 $CE$ 上的动点，求 $ΔFMN$ 周长的最小值．

湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 $A$ 、 $B$ 两种湘莲礼盒一个月的销售情况， $A$ 种湘莲礼盒进价72元 $/$ 盒，售价120元 $/$ 盒， $B$ 种湘莲礼盒进价40元 $/$ 盒，售价80元 $/$ 盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现， $A$ 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若 $B$ 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 $A$ 种湘莲礼盒降价多少元 $/$ 盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

如图，在平面直角坐标系中， $⊙ M$ 与 $x$ 轴的正半轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴相切于点 $C$ ，连接 $MA$ 、 $MC$ ，已知 $⊙ M$ 半径为2， $∠ AMC = 60 °$ ，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过圆心 $M$ ．

（1）求双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

（2）求直线 $BC$ 的解析式．

2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“ $3 + 1 + 2$ ”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考

（1）“ $1 + 2$ ”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）

（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．