如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90-优题课

如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm²．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图， $BD$ 是正方形 $ABCD$ 的对角线，线段 $BC$ 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为 $PQ$ ，连接 $PA$ ，过点 $Q$ 作 $QO ⊥ BD$ ，垂足为 $O$ ，连接 $OA$ 、 $OP$ ．

（1）如图①所示，求证： $AP = \sqrt{2} OA$ ；

（2）如图②所示， $PQ$ 在 $BC$ 的延长线上，如图③所示， $PQ$ 在 $BC$ 的反向延长线上，猜想线段 $AP$ 、 $OA$ 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

小明匀速跑步从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速跑步，小强骑自行车比小明晚出发一段时间，以400米 $/$ 分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程 $y$ （米 $)$ 与小明出发后所用时间 $t$ （分钟）之间的函数图象如图所示，

（1）求小明跑步的速度；

（2）求小明停留结束后 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求小明与小强相遇时 $x$ 的值．

“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：

（1）求本次调查中共抽取的学生人数；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是　 $72 °$ 　；

（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $AB$ 与抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 交于 $A (- 1, 0)$ 和 $B (2, 3)$ 两点，抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $ΔABC$ 的面积．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 图象 $x$ 轴下方部分沿 $x$ 轴向上翻折，保留抛物线在 $x$ 轴上的点和 $x$ 轴上方图象，得到的新图象与直线 $y = t$ 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ．当以 $EF$ 为直径的圆过点 $Q (2, 1)$ 时，求 $t$ 的值；

（3）在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时， $y$ 的取值范围是 $m ⩽ y ⩽ 7$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．