已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）-优题课

已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例

如图，在直角坐标系中，已知点 $B (4, 0)$ ，等边三角形 $OAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把 $ΔOAB$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $BD$ ．请添加一个条件，使得结论“ $AE = CF$ ”成立，并加以证明．

小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $B$ ， $C$ ，正方形 $AOCD$ 的顶点 $D$ 在第二象限内， $E$ 是 $BC$ 中点， $OF ⊥ DE$ 于点 $F$ ，连结 $OE$ ．动点 $P$ 在 $AO$ 上从点 $A$ 向终点 $O$ 匀速运动，同时，动点 $Q$ 在直线 $BC$ 上从某一点 $Q_{1}$ 向终点 $Q_{2}$ 匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点 $B$ 的坐标和 $OE$ 的长．

（2）设点 $Q_{2}$ 为 $(m, n)$ ，当 $\frac{n}{m} = \frac{1}{7} \tan ∠ EOF$ 时，求点 $Q_{2}$ 的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点 $P$ 运动到 $AO$ 中点时，点 $Q$ 恰好与点 $C$ 重合．

①延长 $AD$ 交直线 $BC$ 于点 $Q_{3}$ ，当点 $Q$ 在线段 $Q_{2} Q_{3}$ 上时，设 $Q_{3} Q = s$ ， $AP = t$ ，求 $s$ 关于 $t$ 的函数表达式．

②当 $PQ$ 与 $ΔOEF$ 的一边平行时，求所有满足条件的 $AP$ 的长．

某旅行团32人在景区 $A$ 游玩，他们由成人、少年和儿童组成．已知儿童10人，成人比少年多12人．

（1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？

（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区 $B$ 游玩．景区 $B$ 的门票价格为100元 $/$ 张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童．

①若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？

②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少．

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